◆海外の大学生 Hirasawa Yasutakaさんからの解答。
（University of North Carolina at Chapel Hill）
X = 80 degree (I hope it is right???):
Draw a line L1 from point A so that L1 has an angle of 20 degree to AB, 60 degree to AC.
Call an intercept of L1 and CB as F.
Call an intercept of L1 and extended CD as G.
It is easy to show that triangle ACF and FGB are equilateral triangles.
(ACF is clear. For FGB, use congruence of triangles ACG and CAB. and so on)
Now, triangle ACD is an isosceles triangle, thus AC = CD.
Since AC = CF (ACF is equilateral),CDF is an isosceles triangle.
Using this fact, we can get angle DFC = 80.
This implies that angle DFG is 40.
Also it is easy to see that angle DGF is 40.
These implies triangle DGF is isosceles and DF = DG.
Therefore triangles DBF and DBG are congruent.
Thus, angles FDB and BDG are equal to 50.
It must have been clear that Angle CDA is 50 and CDF is 80 by now.
This implies EDF is 30.
Finally X is equal to EDF plus FDB, or 80 degree.
I haven't enjoyed this kind of problems for 25 years...Took some time to adjust my thinking mode.
Thanks. I could enjoy going back to CHUUGAKUSEI KIBUN for about 40 min...
【コメント】
みごと８０゜で正解です。
このややこしい問題を楽しんでいただいてどうもありがとうございました。
さっそく問題を出題した生徒に知らせたいと思います。
わかりやすい説明、どうもありがとうございました。
＜青木訳＞信用しないでくださいね。(^_^;
∠Ｘは８０度（正解だといいなぁ）
点Ａから、ＡＢに対する角度２０度、ＡＣに対する角度６０度で直線Ｌ１をひく。
Ｌ１とＣＢとの交点をＦとする。
Ｌ１とＣＤの延長との交点をＧとする。
△ＡＣＦと△ＦＧＢが正三角形であることを示すのはやさしい。
（△ＡＣＦは明らか、△ＦＧＢには△ＡＣＧとＡＣＢの合同などを使う。）
さて、△ＡＣＤは二等辺三角形である。
したがってＡＣ＝ＣＤ。
ＡＣ＝ＣＦ（△ＡＣＦは正三角形）だから△ＣＤＦは二等辺三角形。
このことを使うと、∠ＤＦＣ＝８０度とわかる。
このことにより∠ＤＦＧは４０度。
また∠ＤＧＦも簡単に４０度とわかる。
これらのことから△ＤＧＦはＤＦ＝ＤＧの二等辺三角形である。
ゆえに△ＤＢＦと△ＤＢＧは合同である。
したがって∠ＦＤＢと∠ＢＤＧは５０度である。
∠ＣＤＡが５０度で∠ＣＤＦが８０度であるのは、すでに明らかである。
したがって∠ＥＤＦは３０度。
最後にＸは∠ＥＤＦ＋∠ＦＤＢに等しいので８０度。
２５年ほどこのような問題を楽しんだことがなかったので、考え方をあわせるのにしばらく時間がかかりました。
ありがとう。
４０分間ほど、中学生気分にもどって楽しむことができました。
◆青森県 takerun さんからの解答。
△ACDは二等辺三角形。（∵∠CDA=50度）
（AC=CD…(1)）
今、AB上に点Fを∠CFA=80度となるようにとると、△ACFは二等辺三角形。
（AC=CF…(2)）
また、∠ACF=20度であるから∠FCE=40度。…(3)
(1)・(2)よりCD=CF、∠FCD=60度であるから△CDFは正三角形。
（∴CD=DF=FC…(4)）
よって、∠ADF=10度。…(5)
(3)と∠FBC=40度より、△FCBは二等辺三角形。
（FC=FB…(6)）
(4)・(6)よりFB=DF。∴△FDBも二等辺三角形。
∠DFB=40度であるから∠FBD=∠FDB=70度。…F
よって、(5)・(7)より
∠X=∠ADF+∠FDB=80度。
＜感想＞
英語の解答はきちんと読んでないのですが、たぶん別解答だと思います。
中学時代の古い知識を総動員したので、証明は間違ってるかも？？？
【コメント】
これは別解答ですね。
生徒の見本になるほど、丁寧に書いていただいて大変助かります。
さっそく生徒に解答を見せたのですか、英語の解答には目を白黒させてびっくりし、この解答には大変喜んでいました。
実はその子は「解答なんてこないんじゃないか」と言っていたのです。
また問題作りに燃えると思います。
どうもありがとうございました。
◆愛知県の中学校２年生 冷凍ばなな さんからの解答。
二等辺三角形と三角形の合同を使いました。
ＡＢを延長し、ＡＣと等しくなるように点Ｆをとる。
ＣとＦを結び、ＡＣ＝ＡＦの二等辺三角形△ＡＣＦをつくる。
△ＡＣＦにおいて、∠ＣＦＡ＝１００°
∠ＡＣＦ＝∠ＡＦＣ＝４０°
よって、△ＢＣＦは、底角が４０°の二等辺三角形である。
次に、ＣＦを一辺とする正三角形ＣＦＧを点Ａと反対側にかく。
（ＣＦ＝ＦＧ＝ＣＧ）
ＡとＧを結ぶと、△ＡＦＧ≡△ＡＣＧ。
（三角形の合同条件：３辺がそれぞれ等しい）
∠ＣＡＧ＝１００／２＝５０°
∠ＡＧＣ＝６０／２＝３０°
∠ＡＣＧ＝６０＋４０＝１００°
ＡＤを延長し、ＡＧと等しくなるように点ＨをとりＡＨを結ぶ。
すると、△ＡＣＧ≡△ＡＣＨ。
（三角形の合同条件：２辺とその間の角が、それぞれ等しい）
∵ＡＧ＝ＡＨ，∠ＣＡＧ＝∠ＣＡＨ＝５０°，ＡＣ＝ＡＣ（共通な辺）
△ＡＣＧ≡△ＡＣＨなので、
∠ＡＧＣ＝∠ＡＨＣ＝３０°
∠ＡＣＧ＝∠ＡＣＨ＝１００°
∠ＤＣＨ＝１００−（６０＋２０）＝２０°
ＣＧ＝ＣＨ
先に書いた正三角形の一辺ＣＦは、△ＢＣＦの一辺でもある。
△ＢＣＦは二等辺三角形（上記）なので、ＣＦ＝ＣＢ。
さらに、△ＣＦＧは正三角形なので、ＣＦ＝ＣＧ。
そして上にも書いたとおり、ＣＧ＝ＣＨ。
よって、ＣＧ＝ＣＦ＝ＣＢ＝ＣＨになり、ＣＢ＝ＣＨになる。
ＣＢ＝ＣＨ，∠ＤＣＨ＝∠ＥＣＨ（３０°），ＤＣ＝ＤＣで、
△ＤＣＨ≡△ＤＣＢ。
（三角形の合同条件：２辺とその間の角が，それぞれ等しい）
よって、∠ＤＢＥ＝３０°
∠ＤＢＥ＝３０°ならば、∠ＤＢＡ＝７０°（４０＋３０）になる。
△ＡＢＤについて、∠ＤＡＢ＝３０°，∠ＤＢＡ＝７０°ならば、
残りの内角（＝ｘ）は、
１８０−（３０＋７０）＝８０°である。
よって ∠ｘ＝８０°となる。