◆兵庫県 太郎さんからの解答。
一緒ですね。
大円の半径と中円の半径と小円のそれとの和が同じであるということに着目して下さい。
【コメント】
この問題はノ−ヒントで生徒に出題すると答えが三通りに分かれます。
人間の目は結構いい加減なものですね。
もちろん太郎さんのご指摘の通り、長さは同じになります。
ソフトを見てもすぐわかりますね。
文字式を使って解いた方がおいでましたら、メールをお待ちしています。
◆滋賀県の高校生 Ｐ・Ｊさんからの解答。
ＡからＣまで直接行く距離をｍ、Ｂを通る距離をｎとすると、
ｍ＝（１／２）×（ＡＢ＋ＢＣ）×π
よって、ｍ＝ｎ
ｎ＝（１／２）× ＡＢ×π＋（１／２）×ＢＣ×π
＝（１／２）×（ＡＢ＋ＢＣ）×π
【コメント】
やはり数学の証明は文字式を使うとしまったものになりますね。
ところで、例えば半円を正方形に変えたり、正三角形に変えたり、
あるいは半円の数を増やしたりして、この問題を発展させることもできると思います。
面白い問題ができたらお知らせください。
◆海外の高校生 斉藤 健太さんからの解答。
ＡＣの半円の直径とＡＢ、ＡＣの半円の直径の合計は等しい。
よってどちらの道を通っても同じ。
◆神奈川県 てる さんからの解答。
【解答】
（Ｂを通る場合と、通らない場合の長さは）同じである。
【解説】
ＡＢの長さをｘ、ＢＣの長さをｙとする。
その場合、ＡＣの長さは（ｘ＋ｙ）となる。
この場合、弧ＡＢの長さはｘ×π、弧ＢＣの長さはｙ×πであり、
Ｂを通った場合の道の長さは
ｘ×π＋ｙ×π＝（ｘ＋ｙ）×πとなる。
弧ＡＣの長さは（ｘ＋ｙ）×πであるため、Ｂを通った場合の道の長さと同じとなる。
【感想】
一瞬「どっちが長いのだろう？」と悩んでしまいました．．．
◆宮崎県の高校生 Fractalyさんからの解答。
弧ＡＢの長さは
1/2*ＡＢ*π
弧ＢＣの長さは
1/2*ＢＣ*π
弧ＡＣの長さは
1/2*ＡＣ*π
よって、弧ＡＢ+弧ＢＣは
1/2*ＡＢ*π+1/2*ＢＣ*π
＝1/2*π（ＡＢ+ＢＣ）
＝1/2*ＡＣ*π
∴弧ＡＢ+弧ＢＣ＝弧ＡＣ（q.e.d.)
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
点Ｂを通らない場合
道の長さ＝π*AC
点Ｂを通る場合、
道の長さ＝π*AB+π*BC = π*AC
つまり同じ距離です。
点Bを通らない場合のほうはあまり急カーブではないから行きやすいかもしれません。
◆千葉県 一文字弥太郎 さんからの解答。
便宜上、acは、ＡＣ間の線分の長さを示すものとする。
当然、abは、ＡＢ間の線分の長さ、bcは、ＢＣ間の線分の長さである。
ac＝ab+bc
両辺に１／２πを乗じる。
1/2πac＝1/2π（ab+bc）
1/2πac＝1/2πab+1/2πbc
（分配法則は、公理として成立しているものと前提する）
上記式の左辺は、ＡＣ間の弧の長さであり、
右辺中、1/2πabは、ＡＢ間の弧の長さ、
1/2πbcは、ＢＣ間の弧の長さを示す。
∴ ＡＣ間の弧を通る場合も、ＡＢ間の弧及びＢＣ間の弧を通る場合もその距離は、同じである。
◆大分県の小学生 べっち さんからの解答。
答え 同じ
わけ
半円ＡＢの半径をｘ，半円ＢＣの半径をｙとする。
半円ＡＣの半径はｘ＋ｙだから
πｘｒ＋πｙｒ＝π（ｘ＋ｙ）ｒなので等しい。
◆秋田県 GOGOマンモス さんからの解答。
線分ａｂをａ、ｂｃをｂとする時
１番大きい円周は
（ａ＋ｂ）π÷２・・・・・・(1)
2番目、3番目はそれぞれに
ａπ÷２・・・・・・・・・(2)
ｂπ÷２・・・・・・・・・(3)
(2)＋(3)
＝ａπ÷２＋ｂπ÷２
＝（ａ＋ｂ）π÷２
∴ ＝(1)
◆福岡県 X'mathお^ さんからの解答。
弧ＡＣ=弧ＡＢ+弧ＢＣを証明する。
まず、線分ＡＣ=1とする。
さらに、線分ＡＢ=X、線分ＢＣ=Yとすると、
線分ＡＣ=1より、X+Y=1である。
これらを使って、それぞれの弧の長さを求めると、
| 弧ＡＣ= | 1 2 | *π |
| 弧ＡＢ= | 1 2 | *π*X |
| 弧ＢＣ= | 1 2 | *π*Y |
すると、
弧ＡＢ＋弧ＢＣ
| = | 1 2 | *π*X+ | 1 2 | *π*Y |
| = | 1 2 | *π*(X+Y) |
| = | 1 2 | *π [X+Y=1より] |
| =弧ＡＣ |
弧ＡＣ=弧ＡＢ+弧ＢＣが、証明できる。
◆愛知県の中学校１年生 俊 さんからの解答。
まずACをIとおく。
つぎに、ABをｙとおく。
（二分の一はどの半円にも共通するため省く）
πI と、πｙ＋π（I−ｙ）を比べる
πｙ＋π（I−ｙ）
＝πｙ＋πI−πｙ
＝πI
πIとπIでどちらも距離は等しいことになる。
これからいえることは、ある円の直径をいくつかの円に分けて共有してもいくつかの円の周の和は、ある円の 円周の長さと変わらないということです
◆東京都の小学生 Ｑｏｏ さんからの解答。
ＡＢｘ３．１４+ＢＣｘ３．１４は
（ＡＢ+ＢＣ）ｘ３．１４と等しい。
また、ＡＢ+ＢＣはＡＣと等しいので、距離は変わらない。