◆愛知県 迷子の雄猫 さんからの解答。
【問題１】
１≦Ａ≦Ｂのとき、
ＡｘＢ ＞（Ａ−１）ｘ（Ｂ＋１）＝ＡｘＢ−Ａ−Ｂ＋１
だから、１５個の自然数をなるべく同じ値にしてやればいい。
134x134x134x134x134x134x134x134x133x133x133x133x133x133x133
＝76,524,389,524,761,827,074,694,497,422,592
【問題２】
１５個の自然数126〜140の合計が1995。
ここに１を８回加えるのだが、全ての自然数が異なると言う条件からまず140に１を加算するしかない。
126,127,・・・、138,139,140 ↓ 126,127,・・・、138,139,141次に１を加算できるのは、139か141だが、
126,127,・・・、138,139,141 ↓ 126,127,・・・、138,140,141以下同様に、
126x127x128x129x130x131x132x134x135x136x137x138x139x140x141
＝75,805,654,640,285,058,502,224,347,136,000
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
133*7+134*8=2003
1337*1348=76524389524761827074694497422592
【問題２】
126+127+128+129+130+131+132+134+135+136+137+138+139+140+141=2003
126*127*128*129*130*131*132*134*135*136*137*138*139*140*141
=75805654640285058502224347136000
補足
[(2003/15)15]=76532403677516831254622057213878
. 2003/15=133.53
【コメント】
これって、平成１５年、２００３年問題になっていますね。
◆岡山県 遮二無二Go! さんからの解答。
【問題１】
a＞bとする。
まず、a,bの和と同じ2数a+n,b-nについて考える。
[ただし、nはb-n＞0を満たす自然数であるとする]
(a+n)-(b-n)=a+n-b+n=a-b+2n
よって、a-bよりも(a+n)-(b-n)の方が大きい。[∵2n＞0]
それでは、a,bとそれよりも差の大きいa+n,b-nとでは、どちらの積が大きいかを考えると、
(a+n)(b-n)=ab-na+nb-n2=ab-n(a-b+n)
a-b＞0,nは自然数より、n(a-b+n)も自然数である。
よって、abよりも(a+n)(b-n)のほうが小さいことが分かる。
これにより、和が等しい2数の積は、2数の差が小さいほど大きくなることが分かる。
だから、和が2003になる15個の自然数も、なるべくその差が小さいほうが積が大きいことが分かる。
よって、15個の自然数がすべて同じ数であったと仮定して、その数をxとすると、
15x=2003
x=133.5333…
だから、15個の数をすべて133にすると、
15*133=1995
になり、8たらないので、15個のうち、8個だけ134にすれば、差の最も少ない15個の自然数の完成である。
よって、積の最大値は
1348*1337=76524389524761827074694497422592
となる。
【感想】
はじめまして、中学校数学教師です。
この問題、解くきっかけとして、まず思いついたのが高校時代勉強した相加・相乗平均でした。
でも、その公式があやふやだったので、HPで調べようかと思ったのですが、ひょっとして自ら導き出せるかな？と思ってやってみたところ、
できました。
なんと、覚えていたとおりの公式が出たのです。
高校卒業から約10年、あの頃の記憶はまだその片鱗が残っていたのに自分でもびっくりしました。
ちなみに私が数学教師になりたいと思い始めたのは、高校数学にふれてからです。
相加・相乗平均で「=」が成立するのは、a=bのときです。
つまり、2数の差が小さいほど、積が大きくなるのではと予想し、上記のような証明を思いつきました。
他の方々の答えと一致していて安心してます。
さて、ではなぜこの問題に挑戦したのかと申しますと、これから、年賀状を作成するにあたって、なにかいい問題はないかとネットサーフィンをしていてこの問題に到達しました。
別に、生徒に出題するわけではないですけれど…。
つまり、今、私は年賀状に載せられるような問題を探しているところであります。
このHPをご覧になった方で、「こんな問題があるよ」と知っておられる方、ぜひメールをください。
年賀状なので、羊の絵があったりするとうれしいなぁ。
そういえば、以前、巳(へび)の絵で虫食い算をつくっていたHPがあったけど、どこだったかな？
併せて募集します。