◆山梨県 Footmark さんからの解答。
問題は半径１０p、開き角４５°の扇形に入る最大の正方形の面積を求めることになります。
しかし、扇形に対してどのような向きに正方形をとれば最大になるのかが先決問題です。
そこで、極値の可能性が予想できる以下の３つのケースを比較してみます。
図で同色で塗りつぶされている三角形は、いずれも二等辺三角形です。
扇形の半径をｒ、正方形の一辺の長さをａとすると、ｒとａの関係式は上のようになります。
（証明は省きますが、ピタゴラスの定理より容易に得られます）
ここで、ａの係数を２乗して２倍すると、
（１）６＋４
（２）６＋３
（３）１０
明らかに
６＋４＞６＋３＞１０
ですから、(３)のケースの正方形が最大です。
ｒ＝１０pとすると、(３)のケースでの正方形の一辺の長さは
１０ |
p |
よって、求める正方形の面積は
| ( | １０ |
) | 2 | ＝ | １００ ５ |
＝２０ |
【答え】 ２０p2
◆宮城県 甘泉法師 さんからのコメント。
Footmark さんからの解答を確認しました。
この扇形内の正方形は遠心方向に移動することができるので正方形の頂点は円弧上にあると考えてよい。
円弧上に２頂点がある場合の最大の正方形はFootmark さんからの解答にあるとおりです。
円弧上に１つしか頂点がない場合をとり一般的に考えます。
この図形にｘｙ座標を引く。
原点は頂角。x軸と直線ｙ＝ｘは辺。
円弧は簡単のため半径を１として円ｘ2＋ｙ2＝１。
正方形APBQが点Ａ(ａ,０) 、円弧上の点Ｐ(ｓ，ｔ)、点Ｂ(ｂ，ｂ)で図形に内接する。
| 0＜a＜1， 0＜b＜ | 1 |
点Ｑが図形内にとれる条件は、
一般性を失わずに点Ｑが直線ｙ＝ｘ寄りとして
b ＞ a＞ b 。
ベクトルＡＰとベクトルＢＰが直交する関係式、
s2 - (a+b)s + ab + t2 - bt = 0
ベクトルＡＢとベクトルＰＱの直交する関係式、
2( b-a )s + 2bt + a2 −2b2 = 0
点Ｐは円周上にあるので s2 + t2 = 1。
これからaとｂが満たす関係式は、
| { | a 2 | + | 1 a | +b- | b2 a | } | 2 | +{( | 1 a | + | 1 b | )(b | 2 | - | a2 2 |
)+( | 1 b | - | 1 a | )(ab+1) | } | 2 | -4= 0 |
正方形の面積Ｓは
| S = | (b-a)2 + b2 2 |
コンピューターで数値計算すると点Ｑが直線ｙ＝ｘ上にある場合が面積0.2で最大。
Footmark さんからの解答を(1)の(3)の「間」の場合を含めて確認しました。