◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【解答】
ｍ、ｎ および その平均が偶数であること。
∵ 【必要条件】
下図のように席を市松模様風に赤青空紫の４グループに分け、それぞれの人数の合計をＡ、Ｂ，Ｃ，Ｄとする。
また、赤青赤青・・・の行の数をｍ１、
空紫空紫・・・の行の数をｍ２、
赤空赤空・・・の列の数をｎ１、
青紫青紫の列の数をｎ２とする。
偶奇性のみが問題であるから、２を法とする有限体で必要条件を記述すると
（１）市松模様のグループの数は偶数：
Ａ＋Ｄ≡０，Ｃ＋Ｂ≡０
（２）行の数ｍ ＆ 列の数ｎ：
ｍ≡ｍ１＋ｍ２，ｎ≡ｎ１＋ｎ２
（３）各行の人数は奇数：
Ａ＋Ｂ≡ｍ１，Ｃ＋Ｄ≡ｍ２
（４）各列の人数は奇数：
Ａ＋Ｃ≡ｎ１，Ｂ＋Ｄ≡ｎ２
これらを整理すると
ｍ≡ｍ１＋ｍ２≡Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ≡０
ｎ≡ｎ１＋ｎ２≡Ａ＋Ｃ＋Ｂ＋Ｄ≡０
であり、ｍ、ｎは偶数で ｎ１＝ｎ２ ｍ１＝ｍ２ である。
また、ｍ１＋ｎ１≡２Ａ＋Ｂ＋Ｃ≡Ｂ＋Ｃ≡０
| ｍ１＋ｎ１＝ | ｎ＋ｍ ２ |
であるから ｎとｍの平均も偶数である。
【十分条件】
つぎの４部品を組み合わせれば、任意のｍ、ｎの配置を作ることが可能である。
丸印が学生である。
下図に基本形を示す。ｐ、ｑは整数。
なお、ｍ＝４ｐ ｎ＝２＋４ｑ の場合は
| ｎ＋ｍ ２ | ＝１＋２(ｐ＋ｑ)≡１ |
であり出来なくてよい。
◆出題者のコメント
解答ありがとうございます。
| ｍ＋ｎ ２ | が偶数である導入の仕方はとても勉強になりました。 |