説明用のアニメーションをつけました。
ForwardまたはBackをクリックするとミサイルが一こまずつ、進んだり戻ったりします。
Autoをチェックしてから、ForwardまたはBackをクリックすると自動的に動きます。
Traceをチェックすると軌跡を表示します。
◆東京都 フェイクさんからの解答。
解けたわけではないけれども感想を書きます。
私は高校一年生の時にこれと同じようなことを考えたことがありました。
その時もこの問題と同じような設定でやっていたのですが、この問題では二つの場合を考える必要があると思います。
一つ目の場合はロケットの大きさがない時です。
もう少しわかりやすく言うとロケットを点としてとらえるときです。
この時には、やってみると分かると思いますが、ロケットは他のロケットを追いながら少なくとも一周（定義は後で）するので、帰納的に
（相似の考えを使えば）何回も回り続けることが分かると思います。
そして次の場合です。すなわち大きさがあるときです。
これは難しいと思います。
というのは、ロケットＡにロケットＤがどのようにぶつかっていくか（少なくともその時の僕には）分からなかったからです。
だから、せめてロケットは円であるとか設定した方が解き易いのではないでしょうか。
なぜなら、円に設定しておくと、どんな風にぶつかるとしても二つのロケットの間の距離と半径の二倍との距離を比べればよいからです。
円でない場合を解くのはそれが終わってからでいいと思います。
というか、円の場合が解けたら後はどんな風にぶつかるかを調べるだけで良いのですから。
先ずそれを解いてからにしたらよいのではないでしょうか。
あと、証明はしていないけれども、気付いたこと（あっているかどうかは知りません）を書いておくと
四角形Ａ（ｔ）Ｂ（ｔ）Ｃ（ｔ）Ｄ（ｔ）は対角線の交点がＯである正方形であり、
正方形Ａ（ｔ）Ｂ（ｔ）Ｃ（ｔ）Ｄ（ｔ）との相似比は１：ｃｔ。
但し、ｃは１未満の正数でロケットの速度と距離ＡＢのみに関わる定数。
定義：
ＡＢＣＤが出発からｔ秒後に点Ａ（ｔ）、点Ｂ（ｔ）、点Ｃ（ｔ）、点Ｄ（ｔ）にあるとする。
四角形Ａ（０）Ｂ（０）Ｃ（０）Ｄ（０）はもちろん正方形だが、その対角線の交点をＯとする。
ＯＡ（０）∋Ａ（ｔ）を満たすｔが（ｎ＋１）個存在するときｎ周回ったということにする。
Ｐ．Ｓ．上に書いたことが証明できれば、ロケットの形に関わらず問題の答えがでると思います。
あと、ロケットはミサイルの間違いです。（私のときはロケットでした。）
◆宮城県 斉藤 誠さんからの解答。
納得しにくいので計算します。
ここで、各ミサイルの軌跡を調べてみます。
正方形ＡＢＣＤの中心をＯとし、ＯＡを ａ、ほんの少し進んだ（回転した）正方形をＡ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’
としＯＡ’の距離を ｒとする。
さらに回転したものをＡ''Ｂ''Ｃ''Ｄ''とする。
点Ａの軌跡 ｒ＝ｆ(θ)（θ＝角ＡＯＡ’）を考えると、正方形が少し回転したときも同じ関係なので、
ｆ(θ) ＝ｎ・ｆ(θ+Δθ)
の関係を満足する関数である。
ｒ＝ｋ・ｅbθが該当する。
ここで、点Ａにおける接線がＡＢであるので角ＯＡＢ＝４５度を利用すると b＝−１になる。
（求め方：上記の関数をＸＹ平面で媒介変数方程式で表し、
| θ＝４５度、 | Δｙ Δｘ | ＝−１の関係から求まる。 |
よって、初期値 ｋ＝ａなので ｒ＝ａ・ｅ−θ となる。
次に軌跡の距離を求めます。
元の点Ａとほんの少し回転した時の点Ａ’の距離を求め、次にまたほんの少し回転した時のＡ’Ａ''の
距離を求める。
これを繰り返し ｒ＝０（θ＝∞）になるまでの距離を合計する。
さて、三角形ＡＯＡ'で余弦定理より
ＡＡ'2＝ＯＡ2＋ＯＡ'2−２・ＯＡ・ＯＡ'・ＣＯＳ(Δθ)
ＡＡ' ＝
このＡＡ’を ｒ＝ａから０まで積分するのですが、r、r'もθの関数なので難しく、私には自信がないのでパソコンで求めました。
Δθ＝１０万分の１として計算すると１．４１４１９ｘ ａ になりました。約正方形１辺の長さです。
物理的な大きさを考慮すると
ミサイルの長さを１０ｍ（半分が５ｍ）と仮定すると１０万分の１なので
| ｒ ａ | ＝１０−５＝ｅ−θ |
両辺の対数をとりθを求めると、
θ＝５Ｌｎ１０＝１１．５ｒａｄ＝６６０度。
軌跡の関数がなかなか求まらず苦労しました。
無限回転しても長さが決まっているのが不思議です。
【コメント】
微積分を使わなくとも、答えはでるのでしょうが、説得力が違いますね。
水の流れさんは、授業の中では１辺の長さが１０cmから、１cm刻みに１０枚の正方形を重ねたものを準備して、少しづつ真ん中を中心にしてずらしながら、そのときのミサイルの位置を示しているそうです。
◆ＧＯＦＹ・和人 さんからの解答。
問題を簡単にするために、ミサイルの体積はＺＥＲＯ、点として扱う。
また「地球の形状を考えて球面幾何学で解くと・・・」なんてことはやめる。
「それでも地球は平面だった」です。
そうしないと私には解けないから・・・
その条件で作図と微分的な発想が結びつけば、この問題はめんどうな計算なしで解け（ると思い）ます。
なお勝手ながらミサイルＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，はＭａ，Ｍｂ，Ｍｃ，Ｍｄと置き換えさせていただきました。
［条件の確認］
題意によりミサイルは同時に発射され、各々同じ加速度、同じ最高速度で進むと理解される。
実際のミサイルは適当な高度を得るために、平面投影距離よりも大きな距離を飛行するはずだが、 題意によりそれは無視するものと理解される。
同じく題意により、各ミサイルは四つ巴に前方のミサイルを自動追尾するものと理解される。
（そうでなければ問題があまりにも単純になってしまう）
［解答］
ミサイルが互いに接するまでの距離は５００Ｋｍ、その位置は正方形の重心である。
［考え方］
４基のミサイルの初期位置は図の点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄにある。
それぞれのミサイルをＭａ、Ｍｂ、Ｍｃ、Ｍｄとする。
発射された瞬間は、Ｍａは点Ｂを、Ｍｂは点Ｃを目指して飛び出すが、非常に微少な時間が経過したとき、Ｍｂは点Ｃに向かって動いているので、Ｍａは正方形の少し内側、点ａ”に到達するであろう。
同様にＭｂは点ｂ”に、Ｍｃは点ｃ”に、Ｍｄは点ｄ”に同時に到達する。
このときＭａの軌跡に注目すると、何らかの曲線と思われるが、非常に微少な時間経過なのでその曲線の長さは 線分Ａａ”に限りなく近い。
また線分Ａａ’との差も限りなくＺＥＲＯに近い。
そこで図を見直すと微少時間後、４基のミサイルは１辺の長さがＡＢ−Ａａ’である「内側の正方形」の各頂点にいることになる。
このわずかに小さな正方形の各頂点を新しい基点として、あとはこれを繰り返すだけである。
見方を変えれば４基のミサイルは「重心を変えずに、回転しながら収縮する正方形の、頂点に乗せられて」移動しているのである。
正方形Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの重心で４基のミサイルが接するのは自明である。
同じく正方形の各辺がＺＥＲＯになる時に４基のミサイルは接する。
つまり各ミサイルは線分ＡＢの長さ５００Ｋｍを飛行して接する。
念のために。 微少な時間の経過後、４基のミサイルは１辺の長さがＡＢ−Ａａ’である正方形の各頂点にいた。
また図の曲線の長さＡａ”は線分Ａａ’に限りなく近かった。
そしてこの正方形の１辺が線分ＡＢだけ縮小すると面積がＺＥＲＯになる。
よってこれらのミサイルは何らかの曲線に沿って、距離ＡＢだけ進むと接することになる。