◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
答え １．５
形状は たとえば下図。頂点は格子点上にある。
∵この問題は三角形Ｔの方を格子状に並べたときに下図のような隙間ができないことと同値である。
格子点を元にした直交座標を考える。
この時、任意の三角形を包み座標軸方向に辺を持つ最小の長方形の頂点の少なくとも１つはその三角形の頂点である。
（証明略）
その点をＡとし、のこりをＢＣとし、さらに一般性を失わない反転写像などしてＡが左下に来るようにする。
下図参照。
Ａを原点に移動し、ABを y=ax、ACを y=bx (b>a≧0) とする。
このとき上図のように (1,0) (0,1) (1,1)をＡ点とするＴによりカバーされない図中のハッチング部分をカバーするためには、BC は図中の交点Ｅ，Ｄを通過するところまではＡから放さなければならない。
以下a,bをパラメータとする線形解析幾何で計算すると Ｂ、Ｃ点の座標は
B:((ab+1-a)/a/(b-a),(ab+1-a)/(b-a))
C:((ab+1-a)/(b-a) ,(ab+1-a)*a/(b-a))
である。従って三角形Ｔの面積Ｓは
Ｓ(a,b)＝(ab+1-a)2/2a/(b-a)である。
Ｓは少なくとも１以上だからab+1-a≠０であり、
| dS(a,b) da |
= (ab+1-a)* | ab2-ab-b+2a 2a2(b-a)2 |
| dS(a,b) db |
= (ab+1-a)* | 2a2-ab-a+1 2a2(b-a)2 |
より極小点は
ab2-ab-b+2a＝０、2a2-ab-a+1＝０の点である。
この方程式はaの３次式方程式になり、
| このうち実数解は a= | 1 2 | → b=2 のみである。 |
| このときＳ( | 1 2 | ,2)= | 3 2 | である。 |
実際、作図すると、答えの図のようであり、Ｔの格子状配置は領域全面をカバーしている。
なお、a=0やb=無限大に対する取り扱いが雑であるが、極限と考えておけばよく厳密論は省略する。
【問題２】
| 答え １＋ | 7 12 | ≒2.01036 |
| 形は下図のような一辺 1+ | 2 | ≒1.86603 の正三角形 |
∵ 三角形Ｔの辺で最長のものをＢＣとし、もう１頂点をＡとする。
ＢＣをｙ軸上に、ＡＣ上に格子点(1,0)を合わせると、
限界においてＡＢ上に格子点(1,1)が無ければならない。
下図参照。
そのようなＴの中で最小面積のものを考えると、それは正三角形である。
（線形解析幾何によった。詳細略）
| よって、その一辺は１＋ | 2 | で |
| 高さは１＋ | 2 | 、 面積 １＋ | 7 12 | である。 |
因みに、この正三角形は内部に１×１の正方形領域を含んでいるので、平行移動に関して必ず格子点を含んでいることは明らかである。
回転移動も含めての証明に関しては格子点と正三角形の対称性から回転角０〜１５度のみを検討すればよい。
確認の方法は問題１とほぼ同じで
傾きaとbの間に６０度の関係がある条件で、
atan(a)が０〜１５度の範囲において点Ｄが辺ＢＣよりＡ側にあればよい。
点Ｅはそのaの範囲では明らかにＤよりＡに近いので考えなくて良い。
∠(1,0)D(1,1)は常に６０度であるから、点Ｄは円周角の頂点として上図の赤紫の円上である。
atan(a)＝αと置くとき
| 点Ｄ＝(1+ | 1 2 | + | 1 | cos( | π 3 | ＋2α)， | 1 2 | + | 1 | sin( | π 3 | ＋2α)) |
| この点ＤのＡからＡの２等分線の方向＝(cos( | π 6 | ＋α)， | sin( | π 6 | ＋α)) |
| Ｌ(α)= (1+ | 2 | )*cos(α)- | 1 2 | *sin(α) |
である。α=0 において丁度正三角形Ｔの高さ、
| つまり点Ａから辺ＢＣまでの距離：1+ | 2 | であることは当然だが、 |
| このあとαが増加(→ | π 12 | )すると |
| 2* | dL(α) dα | ＝-{(2+)sin(α)+cos(α)}＜0 |
なので L(α)は単調に減少し、常にＴの高さ以下である。
詳細は省略するが、Ｄの方向がＡＢ〜ＡＣの範囲にあることも図から明らかである。
よって、Ｔの格子状配置はどの角度でも領域全面をカバーする。