◆大阪府の高校生 大森 剛 さんからの解答。
| π ∫ 0 | sin x dx＝２ |
| π/n ∫ 0 | Asin nx dx＝ | 2A ――― n |
つまり 一つの山の面積は ２／π×（山の高さ）×（山の幅）
f(x)の１≦ｘ≦２の範囲には山はｎ個ある
f(x)のすべての山の幅は１／ｎ
ｋ個目の山の高さを 1/(1+k/n) と仮定した時のS(n)をS'(n)
f(x)のすべての山の幅は１／ｎ
ｋ個目の山の高さを 1/(1+(k-1)/n) と仮定した時のS(n)をS''(n)とすると
y=1/xのグラフx>0の範囲で単調減少だから
S'(n)＜S(n)＜S''(n)
S'(n)=２／ｎπ(1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+1/(1+3/n)+・・・+1/(1+n/n)) S''(n)=２／ｎπ(1/(1+0/n)+1/(1+1/n)+・・・+1/(1+(n-1)/n))よって ｎ→∞の時
| S'(n)= | ２ ―― π |
2 ∫ 1 | 1 ――― x | dx |
| S''(n)= | ２ ―― π |
2 ∫ 1 | 1 ――― x | dx |
よって
| S(n)= | ２ ―― π |
2 ∫ 1 | 1 ――― x | dx |
| = | ２ ―― π |
log2 |
| 答え： | ２ ―― π |
log2 |
一つの山の面積は
２／π×（山の高さ）×（山の幅）の関係から ｎ→∞の時どこでもそんな割合になりそうだから
ｎ→∞のとき、Ｓ(ｎ)=２／π×∫1/x ってゆうのを証明しました。
【コメント】
さすが高校生、鮮やかな解答ですね。