『面積の問題 Part2』

『面積の問題 Part2』解答

◆静岡県　ヨッシー　さんからの解答。

辺ＤＣの延長上に、ＣＦ＝ＡＢとなる点Ｆを取ると、△ＤＦＢが求める面積となる。

四角形ＡＣＦＢは平行四辺形なので、
∠ＤＢＦ＝９０度

よって、△ＤＢＥと△ＤＦＢは相似となり、
　ＤＦ：ＢＤ＝ＢＤ：ＤＥ

ここで、ＢＤ＝１５ｃｍ、
より、

ＤＦ＝１５×１５÷９＝２５

よって、△ＤＦＢ＝２５×１２÷２＝１５０

答え　１５０cm²

【コメント】

この問題では台形の形は決まらないのですが、面積を求めることができるのが面白いですね。

◆兵庫県の中学校１年生　ドラメッド三世　さんからの解答。

点Ａと点Ｂを近づけて、△ＡＣＤを考えます。
ＤＥの長さは三平方の定理より、

となり、三角形ＡＤＥの面積は、

１２×９
２＝５４

となります。

△ＡＣＤと△ＡＤＥは相似なので、
　ＡＤ：ＤＥ＝５：３

より、

△ＡＣＤ＝５４× ５
３ × ５
３

△ＡＣＤ＝１５０

答え　　１５０ｃｍ²

◆青森県の高校生　kebin　さんからの解答。

辺ＤＣの延長線上に辺ＡＢと同じ長さの線を引き、台形ＡＤＣＢの反対の形を書きます。

出来た三角形ＢＥＡ’も直角三角形になるので、三平方の定理から
辺ＥＡ’は１６ｃｍで

（９＋１６）×１２÷２

で答えは　１５０ｃｍ²となります。

◆大阪府の中学校３年生　戯れ言使い　さんからの解答。

△ＢＤＥにおいて
三平方の定理よりＤＥ＝９ｃｍ

ＡＣとＢＤの交点をＦと置く
△ＢＤＥと△ＡＢＦにおいて、二組の角が等しいので
△ＢＤＥ∽△ＡＢＦ

∴ＡＢをｘｃｍと置くと

ＢＤ：ＢＥ：ＤＥ＝ＡＢ：ＡＦ：ＢＦ＝１５：１２：９＝ｘ：４ｘ
５：３ｘ
５

またＥＣをｙｃｍと置く
△ＡＢＦと△ＣＤＦにおいて、二組の角が等しいので
△ＡＢＦ∽△ＣＤＦ

∴ＢＦ：ＤＦ＝ＡＢ：ＣＤ＝３ｘ
５：１５－３ｘ
５＝ｘ：９＋ｙ

１５ｘ－３ｘ²
５＝２７ｘ
５＋３ｘｙ
５

７５－３ｘ＝２７＋３ｙ
３ｘ＋３ｙ＝４８
ｘ＋ｙ＝１６

台形ＡＢＣＤの面積は
（１６＋９）・１２／２＝１５０

Ａ．１５０ｃｍ²

◆京都府　ぽち　さんからの解答。

補助線を辺ABから右に、また点Cから上に垂直にのばし結び点Fとする。
また、BDとACの交点をGとする。

△BDEと△ABGは相似であることから△ABGと△ACFも相似であることがわかる。
つまり△BDEと△ACFは相似であり△BDEと同様3：4：5の三角形である。

辺FCが12ｃｍであることから対角線ACは20ｃｍであることがわかる。

よって、ACとBDが直角であることから
　15×20÷2＝150平方cmとなる。