◆大阪府 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
ｍ，ｎを正の整数（ｍ＜ｎ）として、直角三角形の斜辺を
ｍ2＋ｎ2とおく。
このとき、
（ｍ2＋ｎ2）2
＝（ｍ2−ｎ2）2＋４（ｍｎ）2
∴三平方の定理より残りの二辺の長さは
ｍ2−ｎ2と２ｍｎと表せる。
ｍ2−ｎ2＝６０のとき、
（ｍ＋ｎ）×（ｍ−ｎ）＝６０より
（ｍ＋ｎ，ｍ−ｎ）は
（６０，１）（３０，２）（２０，３）
（１５，４）（１２，５）（１０，６）
このうち、ｍとｎが共に整数となるのは
（３０，２）（１０，６）の２つ。
∴（ｍ，ｎ）＝（１６，１４）（８，２）で面積が大きいのは
（１６，１４）のときで
その面積は１３４４０
２ｍｎ＝６０のとき、ｍｎ＝３０より
（ｍ，ｎ）＝（３０，１）（１５，２）（１０，３）（６，５）で
面積が大きいのは（３０，１）で
その面積は２６９７０
よって面積が最大となるのは
（ｍ，ｎ）＝（３０，１）のときで、斜辺の長さは９０１
（備考）
ｍ2＋ｎ2とｍ2−ｎ2と２ｍｎを使うというやり方は拡張すれば、三角形の角の一つが１２０度の場合にも適用できます。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
斜辺をＢｍｍ、他の一辺をAｍｍとする。
６０2＋A2＝Ｂ2
Ｂ2−A2＝３６００
（Ｂ＋A)(Ｂ−A）＝３６００
Ｘ＝Ｂ+A，Ｙ＝Ｂ−A とおく。Ｘ＞Ｙ。
Ｂ＝（Ｘ＋Ｙ）／２， A＝（Ｘ−Ｙ）／２
したがって、（Ｘ，Ｙ）は
（偶数，偶数）かまたは（奇数，奇数）でなければならない。
Ｘ＊Ｙ＝３６００ （双曲線）
Ｙ＝２のときＸ＝１８００
Ｂ＝９０１，A＝８９９
このとき直角三角形の面積は最大になる。
６０＊８９９／２＝２６９７０
６０2＋８９９2＝９０１2
答え ９０１ｍｍ
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
斜辺をa，他の辺をｂとすると，
面積は 60×ｂ÷２＝30ｂであるから，ｂが最大になるａを求めればよい。
a2−ｂ2＝602 から
(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)＝3600・・・＊
ａ＋ｂ＝ｍ ，ａ−ｂ＝ｎとすると
ｂ＝(ｍ−ｎ)/２となるから
ｍ−ｎを最大にすればよい。
ｍ，ｎはともに奇数か，偶数であるが，＊式の右辺が偶数なのでｍ，ｎはともに偶数。
したがって，ｍ＝1800，ｎ＝２のとき，ｍ−ｎは最大。
このとき，ａ＝901，ｂ＝899で，
面積は 26970(mm2)
斜辺を60としたとき，直角に対応する点は直径60の円周上にあり，残りの辺を無理数まで許したとしても，三角形の面積の最大値は
60×30÷２＝900
したがって，面積最大のときの斜辺は ９０１mm
【感想】
最初，(ｍ2＋ｎ2)/２，(ｍ2−ｎ2)/２，ｍｎが頭に浮かびましたが，これは，直角三角形になる十分条件だけど，必要条件じゃないことに気づき，やめました。
でも，いろんな解法があるような気が・・・。
他の方の解答が楽しみです。
◆マレーシア ヨッシー さんからの解答。
60 を斜辺とすると、これが最大となってしまうので、
60 は斜辺ではないとします。
図１
のように、１辺60mm の正方形に、斜線部分を加えて、大きな正方形を作ったとき、斜線部分の面積が、平方数で表されるならば、この大きな正方形の１辺を斜辺とすれば、求める三角形が得られます。
斜線部分が、平方数になるということは、斜線部分と面積の等しい１辺が整数mmの正方形ができるということです。
図２
のように、面積を置き換えたとすると、
2xy=(60-x)2 より、
y=(60-x)2/2x
が成り立ちます。
できるだけ小さな整数ｘについて、ｙが整数になるようにｘを操作すると、
x=2 のとき、y=841 となります。
この時、大きな正方形の１辺は
60+841=901
となり、これが求める斜辺の長さとなります。
答え 901mm
ちなみに、直角三角形の３辺は、60,899,901 です。