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◆長崎県 Dr.Berserker さんからのコメント。
半径０．５の正円であれば、円内または円周のどの２点をとっても、その距離は最大で１ですよね。
あと、円に内接する多角形は必ず、その外接円よりは面積が小さいはずですから。
『多角形』ではなく『図形』と問題してあるのがポイントではなかろうかと。
間違っていたらゴメンナサイ。
◆滋賀県 ippei さんからの解答。
ルーロの三角形が答えですね。
| 半径１、中心角６０度の扇形３つの面積は | π ２ |
| 中の正三角形２つ分は | ２ |
| したがって差が答えになるから、 | π− ２ |
◆山梨県 Footmark さんからのコメント。
この問題は、私と同様に以下のように戸惑った方が、たくさんいるんではないでしょうか？
これは、素直に考えると直径１の円だ。
しかし、それではあまりに問題が単純すぎるので、それは答ではないだろう。
きっと、半径１の円弧によるルーローの三角形だな。
そして、後者の面積の方が前者の面積よりも大きいだろうと確認してみると、
なんと、直径１の円の面積＞半径１の円弧によるルーローの三角形の面積 。
あれれ、だとすると、やっぱり直径１の円が答えなの？
しかし、こんな単純な問題を出題するわけがないしなあ。
自分が問題の意味を勘違いしているんではないかと、改めて問題を見る。
でも、勘違いしているわけでもなかった。
● 出題者は、直径１の円の面積＜半径１の円弧によるルーローの三角形の面積 と勘違いして、
答として、半径１の円弧によるルーローの三角形 を期待したんではないんでしょうか？
間違っていたらゴメンなさい。
◆出題者のコメント。
皆様解答ありがとうございます。
ですが、正解者は一人もいらっしゃいません。
ippei さんの解答はFootmark さんの指摘通りです。
Dr.Berserker さんの解答は一見正解のようですが、不備があります。
直径１の円に内包される図形であれば、確かにその面積は直径１の円より小さいです。
ですので、直径１の円に内包される図形のうちで最大の面積を持つ物は疑いもなく、円と言って良いでしょう。
しかし、ある部分だけ円からはみ出て、ある部分はへこんでいるような図形を考えればどうでしょうか？
この場合、円より面積が小さいと言い切る事は難しいと思います。
実はこの問題を出したのは論証を求めて出したのです。
実際にどの図形が条件を満たすのかは簡単に分かります。
けれど、それを証明するのが難しいんです。
感覚的に言えば、等周問題みたいな物ですかね
よろしければ、引き続き検討をお願いします。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
容易に想像がつくとは言え、証明するとなると容易ではなく、その分良い問題であり,出題されたと思います。
例えば、次の２定理を知っていて、かつ殆ど自明ですが補題１を証明できなければ、見とおしがつかずかなり大変と
思うのです。
定理２と補題１をまとめて最少化した補題２をいきなり思いつくにしてもです。
【定理１】
周長一定（＝π）図形で面積最大となるものは直径１の円であり、その面積はπ／４である。
（変分法の初歩だが書けば大変）
【定理２】
巾１の定巾図形（凸図形）の周長はπである。
（ルーローの三角形など定巾図形に興味があれば並かな）
【補題１】
Ｓの形状は凸図形でかつ定巾図形である。
（容易とは言え、私の場合、それなりに手数・字数が必用）
【補題２】
巾が１以下の凸図形の周長はπ以下である。
またＳは凸図形である。