n
、n
◆大分県の中学校１年生 betch さんからの解答。
（６，８，１０） （１０，２４，２６） などの場合があるので、この命題は偽である。
◆大阪府 犬太郎 さんからの解答。
正しくない
反例は三辺がそれぞれ6,8,10の直角三角形
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
解答 正しくない
証明
整数比の直角三角形の系列に (2P,P*P-1,P*P+1) があります。
これはP≧４において２Pが最小となり偶数です。
ちなみに P=4 のとき 比は(8,15,17) であり、既約です。
既約条件がない場合は(6,8,10)も反例になります。
P.S.
最小辺が奇数の系列の例としては
(2*P+1,2*P*P+2*P,2*P*P+2*P+1) があります。
(3,4,5)(5,12,13)....
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
３辺が整数の直角三角形は明らかに存在する。
（３,４,５), (５,１２,１３),…
３辺が整数の直角三角形が存在するなら、各辺を等しく偶数(＞０)倍しても３辺が整数の直角三角形である。
このとき、３辺とも偶数ゆえ最小辺も偶数。
よって命題は偽。
◆静岡県 かたかた さんからの解答。
ピタゴラス数をもって示してみる。
| 直角三角形の一つの鋭角をθ（０＜θ＜ | π ２ |
）とする。 |
この時、
sinθ
| =2sin | θ 2 |
・cos | θ 2 |
| =2tan | θ 2 |
・(cos | θ 2 |
) | 2 |
| =2tan | θ 2 |
・1/{1+(tan | θ 2 |
) | 2 | } |
cosθ
| =2(cos | θ 2 |
) | 2 | -1 |
| ={1-(tan | θ 2 |
) | 2 | }/{1+(tan | θ 2 |
) | 2 | } |
| いま、０＜θ＜ | π ２ |
から０＜ | θ ２ |
＜ | π ４ |
| であるから、０＜tan | π 2 |
＜１ |
すなわち、自然数mとn(m＞n)を用いて
| tan | θ 2 |
= | n m |
とおける。 |
よって、
| sinθ=2･ | n m |
/{1+( | n m |
) | 2 | }= | 2mn m2+n2 |
| cosθ= | m2-n2 m2+n2 |
とあらわせるから、直角三角形の斜辺をＡ、その他の辺をＢ，Ｃとすると
Ａ=m2+n2
Ｂ=m2-n2
Ｃ=2mnとなる。
よって、全ての辺が整数であるとき上のように表す事ができる。
ところで、
イ）Ｂ＞Ｃのとき
| ( | m n |
) | 2 | -2( | m n |
)-1＞0 |
| ⇔ | m n |
＞1+、 |
m n |
＜1- |
| ｍ＞ｎ＞０だから | m n |
＞1 |
| m n |
＞ | 1+のとき |
| ロ）Ｂ≦Ｃ（１＜ | m n |
≦ | 1+）の時 |
これはm,nが互いに偶数であるか、互いに奇数であるかすればＢが偶数である。
このことから、最小辺が偶数であってもその他の辺が整数となり得る。
よって「最小辺が偶数となる直角三角形において、その他の２辺は整数ではない」という命題は、偽りである。