3
15
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
より一般的に、点Ａ(1/a,0)を出発した光線が，
円x2+y2＝1上のある点P(cosθ,sinθ)で反射して，
| 点B(0， | 1 b |
)に到達するものとする。 |
| ここで 0＜a,b＜1，0＜θ＜ | π 2 |
。 |
点Ｐにおける反射が∠APO＝∠BPOをみたすので、
△ＡＰＯと△ＢＰＯの正弦定理から
| tan2 θ = | 1 - 2a cosθ + a2 1 - 2b sinθ +b2 |
で、 |
| 元の問題の場合 a= | 3 | 、b= | 15 |
で、 |
◆熊本県 mit さんからの解答。
（３，０）を通りｘ2＋ｙ2＝５と第１象限で接する直線は
| ｙ＝− | ２ | ｘ＋ | ３ ２ |
，接点（ | ５ ３ | ， | ２ ３ | ） |
| よってＰのｘ座標の範囲は | ５ ３ | ＜ｘ＜ |
Ｐの座標を（ｐ，√(５−ｐ2)）とおく
| ＯとＰを通る直線はｙ＝ | √(５−ｐ2) ｐ |
ｘ |
直線ＯＰを対称軸として（３，０）と対称な点をＣ（ａ，ｂ）とおくと、連立方程式
| ｂ ａ−３ | ＝ | −ｐ √(５−ｐ2) |
……（１） |
| ｂ ２ | ＝ | √(５−ｐ2) ｐ | ( | ａ−３ ２ |
)……（２） |
が成り立つ
（１），（２）を解いて
| ａ＝ | ６ｐ2−１５ ５ |
，ｂ＝ | ６ｐ√(５−ｐ2) ５ |
よってＣとＰを通る直線は
| ｙ＝ | (６ｐ−５)√(５−ｐ2) ６ｐ2−５ｐ−１５ |
(ｘ−ｐ)＋√(５−ｐ2) |
これが（０，１５）を通ればいいので
| １５＝ | −１５√(５−ｐ2) ６ｐ2−５ｐ−１５ |
６ｐ2−５ｐ−１５＝−√(５−ｐ2)……（３）
３６ｐ4−６０ｐ3−１５５ｐ2＋１５０ｐ＋２２５＝５−ｐ2
３６ｐ4−６０ｐ3−１５４ｐ2＋１５０ｐ＋２２０＝０
１８ｐ4−３０ｐ3−７７ｐ2＋７５ｐ＋１１０＝０
(ｐ−２)(１８ｐ3＋６ｐ2−６５ｐ−５５)＝０
ｆ(ｘ)＝６ｘ2−５ｘ−１５＋√(５−ｘ2) は
| ５ ３ | ＜ｘ＜の範囲では |
| ｆ'(ｘ)＞０かつｆ( | ５ ３ | )＜０かつｆ()＞０を満たすので |
（３）式はｐ＝２のただ一つの解をもつ
よってＰの座標は（２，１）