◆茨城県 小川 康幸 さんからの解答。
【問題３】
まず、a+cとa*cは、互いに素である事を示す。
もしそうでなければ、a+cとa*c共に割り切れる素数pが存在する。
a+c=p*k，a*c=p*h，(h、kは整数)と書ける。
a*cがpで割り切れるので、素数の性質より、aまたはcがpで割り切れる。
aがpで割り切れるとき、 a=p*dと書ける。
c=p*k-a=p*(k-d)だから、pがaとcの公約数となり、aとcが互いに素である事に反する。
cがpで割り切れるときも、同様にして矛盾。
よって、a+cとa*cは互いに素である。
| 1 a | + | 1 b | + | 1
c | = | 1 n |
だから、 |
| a*b+b*c+c*a a*b*c | = | 1 n |
この式を変形して、n*b*(a+c)=a*c*(b-n)･･･※
※の式より、0＜b-nである。
また、n＞0より、0＜b-n＜bである。
また、※の式より、a*c*(b-n)は、a+cで割り切れる。
a+cとa*cは互いに素だから、b-nが，a+cで割り切れる。
よって、(a+c)*l=b-n (lは自然数)より、
a+c≦b-n＜b≦c
これより、a＜0となって、aが自然数である事に反する。
よって、このような自然数n,a,b,cは存在しない。
【問題４】
問題３と同様にして、やはり、b+cとb*cは互いに素。
やはり、n*a*(b+c)=b*c*(a-n)が導け、このことより、
0＜a-n＜aと、b*c*(a-n)がb+cで割り切れる事が言える。
b*cとb+cは互いに素だから、a-nがb+cで割り切れる。
よって、b+c≦a-nとなるが、b+c≦a-n＜a≦bより、
c＜0となって、cが自然数である事に反する。
よって、問題３と同様に、求める自然数n,a,b,cは存在しない。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
| (1) | 2 36 | ＋ | 7 18 | ＋ | 9 54 |
| (2) | 3 18 | ＋ | 6 54 | ＋ | 9 27 |
| (3) | 3 27 | ＋ | 5 16 | ＋ | 9 48 |
| (4) | 3 27 | ＋ | 6 18 | ＋ | 9 54 |
| (5) | 4 26 | ＋ | 5 18 | ＋ | 7 39 |
| (6) | 5 14 | ＋ | 8 72 | ＋ | 9 63 |
【問題２】
| (1) | 3 24 | ＋ | 7 56 | ＋ | 9 18 |
| (2) | 3 56 | ＋ | 8 14 | ＋ | 9 72 |
| (3) | 4 32 | ＋ | 7 56 | ＋ | 9 18 |
| (4) | 5 12 | ＋ | 7 84 | ＋ | 9 36 |
| (5) | 5 13 | ＋ | 6 24 | ＋ | 9 78 |
| (6) | 5 14 | ＋ | 7 28 | ＋ | 9 63 |
| (7) | 5 38 | ＋ | 6 24 | ＋ | 7 19 |