tan(75度)=2+
を用いＦ：（-1,-1）Ａ：（1,-1）Ｂ：(0,1+
) Ｄ：(
cos(θ), sin(θ))として一般性を失わない。◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】 １６５度
点ＤはＡＦを固定したとき円周角４５度の点の軌跡であることを利用し、△ＤＡＦの外接円の中心を原点とする座標系で考える。
tan(75度)=2+を用い
Ｆ：（-1,-1）Ａ：（1,-1）Ｂ：(0,1+ ) Ｄ：(cos(θ), sin(θ))として一般性を失わない。
| さらにcos(θ)= | 1-t2 1+t2 |
, sin(θ)= | 2t 1+t2 |
,t=tan( | θ 2 |
) を用いると |
この２次方程式は重根をもち
（＝△ＤＡＦの外接円とＦＤ：ＢＤ＝２：１のアポロニウスの円は接する）
である。
∠ＦＤＢのsinはベクトルＤＢとＦＤの外積から
| ｔを代入し計算すると sin(∠ＦＤＢ)= | 1 2 |
より∠ＦＤＢ＝150度である。 |
（30度除外理由は省略）
よって ∠ＡＤＢ＝360−∠ＦＤＢ-45＝165度
ちなみに Ｄ：(5-2, 1+10)/13
【問題２】 １５０度
Ｃ＝Ａ＋（Ｂ−Ａ）*９０度回転/ より
| Ｃ：( | -2 |
,-1- | 1 |
) |
Ｅ＝Ａ＋（Ｄ−Ａ）*９０度回転 より
Ｅ：(-1-10 ,-21-2 )/13
直線ＣＥ，ＢＤの交点を求める（線形代数）と
Ｇ：（10-4 ,-11+7 ）/13
である。
| 角AGBのsinはベクトルＧＡとＧＢの外積から 計算して | 1 2 |
を得る。 |
よって∠ＡＤＢ=150度である。
（30度除外理由は省略）
【感想】
たぶんこんな解答を作者は期待されていないでしょう。
なまじ数式処理ソフトがあると考えなくなり、面白いところを通過しているものと思います。
ただ、かなり大昔のソフトなので、大抵応答なしかＰＣがダウンして滅多に解けたことがなく、これは珍しいのです。
◆出題者のコメント
アポロニウスの円と45度を見込む円との交点を求める手法で解く解法は予想してましたが、作者はあまりの計算量のた
め挫折しました。
よく解けましたね。
◆静岡県 村松 芳子 さんからの解答。
【問題１】
△ＢＡＦは頂角30°の二等辺三角形であるから、両底角は75°である。
∠ＢＡＦ＝∠ＢＦＡ＝75°
△ＡＢＤをＡＢで折り返し△ＡＢＨを作図する。
△ＢＦＤをＢＦで折り返し△ＢＦＩを作図する。
△ＡＦＤをＡＦで折り返し△ＡＦＪを作図する。
すると、△ＢＩＨは正三角形、△ＩＦＪと△ＨＡＪは頂角150°の二等辺三角形である。
ゆえに
∠ＦＩＪ＝∠ＦＪＩ＝∠ＡＨＪ＝∠ＡＪＨ＝15°
ゆえに
∠ＨＪＩ＝∠ＡＪＦ−∠ＡＪＨ−∠ＩＪＦ＝45°−15°×2＝15°となる。
△ＩＦＪをＩＪで折り返し△ＩＫＪを作図すると、ＫはＨＪ上にくる。
ここで ∠ＨＫＩ＝30°となる。
△ＢＨＩをＨＩで折り返し、△ＨＩＬを作図する。
∠ＨＬＩ＝60°、ＨＬ＝ＩＬ、∠ＨＫＩ＝30°だから、中心角、円周角の関係からＨ，Ｉ，Ｋは、中心Ｌの同一円周上の点であると言える。
ゆえに ＩＬ＝ＬＫ＝ＬＨ＝ＢＤ（＝１とおく）
また、ＩＫ＝ＩＦ＝ＤＦ（＝２とおく）
ＩＬ＋ＬＫ＝２、ＩＫ＝２より、ＩＬＫは直線ＩＫと一致すると言える。
すなわち ∠ＨＩＫ＝∠ＨＩＬ＝60°となる。
ゆえに
∠ＢＤＦ
＝∠ＢＩＦ
＝∠ＢＩＨ＋∠ＨＩＫ＋∠ＫＩＪ＋∠ＪＩＦ
＝60°＋60°＋15°＋15°
＝150°
したがって、
∠ＡＤＢ＝360°−150°−45°＝165°
（終わり）
◆出題者のコメント
村松さんの解答に対するコメントです。
三角形の内部に特定点がある場合、このように３辺に対してこの点と対称な点をとるという手法はなかなか有効なようですね。
気づきませんでした。
同様に問題２も解けませんでしょうか？
◆出題者のヒント
しばらく待ってみましたが、期待していた解答がつかないようなので、少しばかりヒントを。
私の持っている解法は問題１、問題２共々、キーポイントは30度、75度、75度の二等辺三角形の性質を利用するものです。
私が知っている性質は以下の2点でした。
（１） 角Aが直角の直角二等辺三角形ABCにおいてAを通ってBCに平行な直線を引き、その直線上にBC＝BDとなるDを図のように取れば、三角形BCDは30度、75度、75度の二等辺三角形である。
（２） 正方形ABCD内部にEB=EC,∠BEC=150度となるEをとれば、三角形ABE,三角形DCEは30度、75度、75度の二等辺三角形である。
これらの性質を問題１、問題２ともどもうまく利用すると角度を求めることができます。
性質（２）は複数回使用する必要があるかもしれません。
もちろんこれらの性質を利用しない解法も引き続き募集しています。
（そちらのほうがうれしいかも）