◆東京都 哲(サトシ) さんからの解答。
余弦定理より、角BPC=tとおき、
5x2-4x2cos2t=3
x2+y2-2xycost=1
4x2+y2-4xycos3t=4
を満たすことのできるt(0°＜t＜90°)を求めると、15°、30°、75°。
このうち15°(Pは三角形ABCの外側)、30°(PはCに一致)は無縁解であり、75°が解。
したがって、求める角の大きさは135°。
◆出題者のコメント
上記方程式よく解けましたね！
もしよかったら解き方を示していただければ幸いです。
◆大阪府 ゆたか さんからの解答。
辺ＡＢを２：１の比に内分，外分する点をそれぞれＭ，Ｎとする。
このとき、ＡＣ：ＣＢ＝ＡＰ：ＰＢ＝ＡＭ：ＭＢ＝ＡＮ：ＮＢ＝２：１だから、
４点Ｃ，Ｐ，Ｍ，Ｎは同一円周上にある。（アポロニウスの円）
特に、線分ＭＮは、この円の直径であり、∠ＭＣＮ＝９０°である。
また、ＣＭ，ＰＭはそれぞれ∠ＡＣＢ，∠ＡＰＢの二等分線であるから、
∠ＡＰＭ＝∠ＭＰＢ＝∠ＢＰＣ、
∠ＡＣＭ＝∠ＭＣＢ＝３０°より、∠ＣＭＢ＝６０°。
よって、∠ＣＮＭ＝３０°となり、円に内接する四角形ＣＰＭＮについて、
∠ＣＰＭ＝１８０°−３０°＝１５０°がわかる。
したがって、∠ＡＰＭ＝∠ＭＰＢ＝∠ＢＰＣ＝７５°であり、
∠ＡＰＣ＝３６０°−７５°×３＝１３５°である。
◆神奈川県 いわし さんからの解答。
線分ABを2:1に内分する点をD,
ABの延長上にDB=BEとなる点Eをとる。
Eを中心としてDを通る円をΓとすると、
AP=2BP ⇔ PはΓ上にある。（アポロニウスの円）
∠BPC=αとおくと、AP:PB=AD:DBより、
∠APD=∠BPD=α
∠CPDはΓの優弧CDに対する円周角であり、
∠CED=60°より
∠CPD=2α=150°
∴ ∠APC=360°-3α=135°... (答)
◆出題者のコメント
私が考えていた解答は
１． アポロニウスの円を使う方法
２． 余弦定理を用いたもの
３． 別解
でした。
もともと『正三角形の面積』にあるような正三角形の問題から作ったもので、上記３の手法をまっさきに思いつきました。
上記の手法とは
△QCA∽△PCBとなるようにQを取れば、
△QCPは６０°、３０°の直角三角形となり、
AQ＝AP＝２PBより△APQは二等辺三角形となることを利用するものです。
∠BPC+∠APB+∠APC＝３６０°から、∠APCを求めるものでした。
（∠BPC=ｘとおいて、ｘの方程式になります）
| この問題、∠APB=ｋ∠BPC( | １ ２ |
＜k＜３)ならPのような点が存在します。 |
◆静岡県 村松 芳子 さんからの解答。
∠ＢＰＣ＝αとおくと
∠ＢＰＡ＝２α，∠ＡＰＢ＝３６０°−３α
ＰＣ＝１とおくとＡＰ＝２
△ＡＰＢ，△ＢＰＣ，△ＡＰＣをそれぞれＡＢ，ＢＣ，ＣＡで折り返し、
△ＡＤＢ、△ＢＥＣ、△ＡＦＣを作図する。
すると、∠ＤＡＦ＝３０°ｘ２＝６０°
∠ＤＢＥ＝９０°ｘ２＝１８０°
すなわちＤＢＥは直線である。
∠ＥＣＦ＝６０°ｘ２＝１２０°
ＡＤ＝ＡＰ＝ＡＦ＝２だから△ＡＦＤは頂角６０°の二等辺三角形である。
すなわち△ＡＦＤは正三角形となり、ＤＦ＝２である。
ＤＢ＝ＢＰ＝ＢＥ＝１、
ＤＢＥは直線ＤＥであり、ＤＥ＝２
したがって、△ＤＥＦは二等辺三角形である。
ゆえにＤＦＥ＝∠ＤＥＦ
また ＣＦ＝ＣＰ＝ＣＥだから△ＥＣＦは頂角１２０°の二等辺三角形である。
ゆえに∠ＣＦＥ＝∠ＣＥＦ＝３０°となる。
∠ＤＦＥ＝∠ＡＦＣ−６０°−３０°＝３６０°−３α−９０°＝２７０°−３α
∠ＤＥＦ＝∠ＢＥＣ−３０°＝α−３０°
ゆえに２７０°−３α＝α−３０°
計算して、α＝７５°が得られる。
ゆえに∠ＡＰＣ＝３６０°−３×７５°＝１３５°となる。
◆出題者のコメント
これは気づきませんでした。
逆にもし三角形ABC内部にPをとって、AB,BC,CAに関してPと対称な点をQ,R,Sとした場合、三角形QRS
が直角二等辺三角形の場合Pはどんな点になるんでしょう？？