◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
問題での点Ａは、図では点Ａ1として表します。
∠ＢＡ1Ｍを３０°にすると、三角形Ａ1ＢＭは二等辺三角形です。
よって、線分Ａ1Ｍ＝線分ＢＭ
ところが題意より、線分ＢＭ＝線分ＣＭですから、
線分Ａ1Ｍ＝線分ＣＭ
また、∠Ａ1ＭＣ＝６０°になるので、三角形Ａ1ＭＣは正三角形です。
よって、∠ＭＡ1Ｃ＝∠ＭＣＡ1＝６０°
この時、∠ＢＡ1Ｍ＋∠ＭＣＡ1＝３０°＋６０°＝９０°
条件を満たします。
∴ ∠Ａ1＝３０°＋６０°＝９０°
[答え] ９０°
【問題２】
問題での点Ａは、図では点Ａ2として表します。
∠ＢＡ2Ｍを１５°にすると、∠Ａ1ＭＡ2＝１５°になるので、
三角形∠Ａ1ＭＡ2は二等辺三角形です。
よって、線分Ａ1Ｍ＝線分Ａ1Ａ2
【問題１】より三角形Ａ1ＭＣは正三角形ですので、
線分Ａ1Ｍ＝線分Ａ1Ｃ
よって、線分Ａ1Ａ2＝線分Ａ1Ｃ
それ故、三角形Ａ1ＣＡ2は二等辺三角形で、
∠Ａ1ＣＡ2＝∠Ａ2
ですから、∠Ａ1ＣＡ2＝∠Ａ2＝４５°
この時、∠ＢＡ2Ｍ＋∠ＭＣＡ2＝１５°＋(６０°＋４５°)＝１２０°
条件を満たします。
∴ ∠Ａ2＝４５°
[答え] ４５°
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
答え １２０度と９０度
下図赤紫色参照。
∠ＭＡＣ＝６０度であるから、点Ａは下図赤紫の円周上である。
Ｍを通りＭＣに対して傾き３０°の補助線（図中破線）を引けば分かる様に、
△ＭＣＡ1-1は正三角形である。
よって角Ａのひとつは９０度である。
また、
∠ＣＭＡ1-1＝∠ＣＡ1-2Ａ1-1＝６０度より、
もう一つは１２０度である。
【問題２】
答え ４５度と１３５度
下図青色参照。
∠ＭＡＣ＝３０度であるから、点Ａは丁度Ａ1-1を中心とする青の円周上である。
点Ｃは円の中心から線ＢＡに対し直角方向である。
従って△ＣＡ2-2Ａ2-1は直角２等辺三角形である。
よって角Ａのひとつは４５度でもう一つは１３５度である。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
点Ａが図の点Ａ1と点Ａ1の時、与えられた条件を満たします。
∠Ａ1＝３０°＋６０°＝９０°、
∠Ａ1＝６０°＋６０°＝１２０°
[答え] ∠Ａ＝９０°, １２０°
【問題２】
点Ａが図の点Ａ2と点Ａ2の時、与えられた条件を満たします。
∠Ａ2＝１５°＋３０°＝４５°、
∠Ａ2＝１０５°＋３０°＝１３５°
[答え] ∠Ａ＝４５°, １３５°
【出題者のコメント】
この問題はもともとは
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三角形ＡＢＣのＢＣの中点をＭとするとき、 ∠ＢＡＭ＋∠ＭＣＡ＝９０度なら 三角形ＡＢＣはどんな三角形か？ |
という問題の改題です。
この問題の解法はＡＭを２倍に延長して、三角形ＡＢＣの外接円を描き、Ｍが円の中心である場合とそうでない場合とを場合わけするものでした。
私はこの解法が不自然に思え、それよりは作図によりＡの位置を定める解法の方が自然に思えました。
そこで今回のような問題を作ってみたわけです。