◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
△ＡＤＣと△ＡＢＥにおいて，
ＡＤ＝ＡＢ，ＡＣ＝ＡＥ
また，
∠ＤＡＣ＝∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＣ
∠ＢＡＥ＝∠ＥＡＣ＋∠ＢＡＣ
∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＣ から
∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＥ
二辺夾角相等で，△ＡＤＣ≡△ＡＢＥ
∠ＤＡＢ＝∠ＥＡＣ＝ａ°とすると
△ ＡＢＥは△ＡＤＣを反時計回りにａ°回転させたもの
とみることができ，対応する辺ＤＣとＢＥのなす角もａ°となる。
∠ＤＡＢ＝∠ＤＰＢ＝ａ°から，４点Ａ，Ｐ，Ｂ，Ｄは同一円周上にあり
∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＰ…(1)
同様に４点Ａ，Ｐ，Ｃ，Ｅも同一円周上にあり
∠ＢＥＣ＝∠ＣＡＰ…(2)
(1)，(2)より，
∠ＢＤＣ＋∠ＢＥＣ＝∠ＢＡＣ
【釜坂さんからのコメント】
鋭角という条件を抜くとどうなるのか，考えてみましたが，途中で力尽きました。
以下のような場合は，成立しますが，線分ＤＣと線分ＢＥがそれらの延長上で交わるような場合は，成立しないようです。
また，∠Ｂまたは∠Ｃが鈍角の場合，∠ＤＡＢの大きさによっては，∠ＢＤＣと∠ＢＥＣの差が∠ＢＡＣに等しくなるようですが…。
［∠Ａ＞90°，∠Ａ＋∠ＤＡＢ＜180°のとき］
［∠ＤＡＢ＞90°，∠Ａ＋∠ＤＡＢ＜180°のとき］
◆大阪府 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＥ＝ｗ、
∠ＢＤＣ＝ｘ、∠ＢＥＣ＝ｙとおく
またＡＢとＤＣの交点をＰ、ＡＣとＢＥの交点をＱ、ＤＣとＢＥの交点をＲとする
△ＡＤＣと△ＡＢＥは二辺とその間の角が等しいので合同
∴∠ＡＤＣ
＝∠ＡＢＥ
＝∠ＡＢＤ−∠ＢＤＰ
| ＝ |
１８０−ｗ ―――――― ２ | −ｘ |
また
∠ＢＰＲ
＝∠ＢＤＰ＋∠ＰＢＤ
| ＝ｘ＋ |
１８０−ｗ ―――――― ２ |
∴∠ＡＰＲ
＝１８０−∠ＢＰＲ
| ＝ |
１８０＋ｗ ―――――― ２ | −ｘ |
同様にして
∠ＡＱＲ
| ＝ |
１８０＋ｗ ―――――― ２ | −ｙ |
さらに、
∠ＰＲＱ
＝∠ＲＰＢ＋∠ＲＢＰ
＝１８０−ｗ
よって
∠ＰＡＱ
＝３６０−(∠ＰＲＱ＋∠ＡＰＲ＋∠ＡＱＲ)
＝ｘ＋ｙ
以上より題意は示された。
（感想）
△ＡＤＣと△ＡＢＥが合同であることに気づくまで随分時間がかかってしまった。
複素数に手を出そうかと思った。