◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
一応、解いたけど、中学生には無理かな。
＜解答＞
出発してから時刻ｔでの速度をｖ(ｔ)、距離をχ(ｔ)とおきます。
ｖはχの１次関数になっているので、ｖ＝ａχ＋ｂの形になります。
ここで、χ＝０のときｖ＝６、χ＝１０のときｖ＝４なので、
| ｖ＝− | １ ５ | χ＋６となります。 |
| ｖ＝ | ｄχ ｄｔ | と表せ、上式は、 |
| ｄχ ｄｔ | ＝− | １ ５ | χ＋６ |
という、「微分方程式」になります。
これを解くと、
| −５log（− | χ ５ | ＋６）＝ｔ＋Ｃ |
（log は自然対数、Ｃは積分定数）
となります。ｔ＝０のときχ＝０ですから、代入して
Ｃ＝−５log６ となり、上式は
| ｔ＝５log６−５log(− | χ ５ | ＋６） |
と表せます。
χ＝１０となるｔを求めると、
ｔ＝５log６−５log４＝2.02732554・・・
となり、２時間とちょっとになります。
【コメント】
微分方程式ですか。なつかしいです。
しかし私は２時間ちょっとジョギングする自信はとてもありません。
やっぱりダイエットは無理ですか。
◆長崎県 Dr. Berserker さんからの解答。
この問題は、グラフの面積が答えになることを知っていれば、実は中学生でも解けるはずです、近似的に。
時間（t）＝道のり（l）／速さ（v）
なので、１／vをｌで積分すればいいなということが分かります。
ここで、ｖとｌの関係を式で表さなければなりません。
v＝ａl＋b （ａ、ｂ、は定数）
とすると、条件より、
ａ＝−１／５、ｂ＝６
ということがわかります。というわけで、
１／ｖ＝５／（３０−ｌ）
ｄｌ／ｖ＝５／（３０−ｌ）・ｄｌ
これを、０＜ｌ＜１０で積分すると、
l/v
=t
=-5(log20-log30)
=-5(2.995732274-3.401197382)
=2.02732554
これは、２時間１分３６秒、ですね。
中学生には、t=l/vだから、l-1/vグラフの面積が時間になることを教えるといいかと思います。
ちなみに、l=vtだから、v-tグラフの面積が移動距離になることは、あまりに有名ですよね。
◆東京都 算数の好きなおじさん さんからの解答。
ジョギングした距離をx〔km〕とすれば、x 地点の時速v はx の一次関数となるから、
ｖ＝6-0.2x 〔km/h〕
いま、ジョギングするに要する全時間t は、
| ｔ＝ | 10 6-0.2x | 〔h〕 |
| ｔ＝ | 10 3 | ( | 1 6 | + | 1 6-0.2×5 | + | 1 6-0.2×10 | )=2.056〔h〕 |
| ｔ＝ | 10 11 | ( | 1 6 | + | 1 5.8 | + | 1 5.6 | +・・+ | 1 4 | )=2.033〔h〕 |