◆東京都 みなみけんいち さんからの解答。
（１）ｎ＝２のとき
明らかにどちらかの点からもう一方へ直接移動できる経路が存在する。
（２）ｎ＝ｋのとき
ある点Ｐからすべての点へ直接、または１点の経由で移動できるとする。
ここに新たに点Ｑを加えたものを考える。
（２−１）
ＰからＱへの経路があるとき
仮定からＰからＱ以外のすべての点へ直接、または１点の経由で移動でき、また、ＰからＱへは直接移動できるので、Ｐからすべての点へ直接、または１点の経由で移動できる。
（２−２）
ＰからＱへの経路がないとき
（２−２−１）
Ｐから移動できる点ＲからＱへの経路があるとする。
仮定からＰからＱ以外のすべての点へ直接、または１点の経由で移動でき、また、ＰからＱへはＲを経由して移動できるので、Ｐからすべての点へ直接、または１点の経由で移動できる。
（２−２−２）
Ｐから直接移動できる点からＱへの経路がないとする。
Ｐから直接移動できる点からＱへの経路が存在しない、つまり、Ｐから移動できる点へはＱからの経路が存在する。
また、（２−２）の仮定より、ＰからＱへ移動できないので、ＱからＰへの経路が存在する。
よって、ＱからＰへは直接の経路、Ｐから直接移動できた点へはＱからの直接の経路、Ｐから１点の経由で移動できた点へは、同じく１点の経由で移動できる。
つまり、Ｑからすべての点へ直接、または１点の経由で移動できる。
以上よりｎ＝ｋのときにすべての点へ直接、または１点の経由で移動できる点が存在すれば、ｎ＝ｋ＋１のときにも、すべての点へ直接、または１点の経由で移動できる点が存在する。
（１）＆（２）より、ｎが２以上の整数のとき、ある点が存在して、すべての点へ直接、または１点の経由で移動できる。
◆出題者のコメント。
解答ありがとうございます。
みごとな証明だと思います。
数学的帰納法で示すには、格好な問題でしたね。