『部屋の模様替え』解答


◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。

廊下の大きさをC、壁の厚みをW、本箱の奥行きをB、ドアの幅をD、本箱の最大の幅をLとすると

【問題1】

C=90, W=15, B=45,D=75を代入すると

【問題2】

C=90, W=15, B=45,D=90を代入すると

ちなみに本箱をばらして持ち込むと

問題1は L=105*26
15
=182 cm ,
問題2は L=105*37
18
=1295
6
=215.83 cm までの本箱を持ち込めます。
(板の厚みを0とします。)


◆出題者のコメント。

アンパンマンさんの答えは正解です。
三角関数の公式を使うと綺麗に解けるんですね。
気がつきませんでした。
少し煩雑ですが、ピタゴラスの定理と2次方程式の知識だけでも解を得られるので、他の方も考えてみてください。
なお、「一般」の方は追加の問題3にも挑戦してみてください。
「答えは正解」の意味が明確になるでしょう。


◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。

【問題3】

C=90, W=20, B=45,D=75を代入すると

L=25305
135+16

ちなみにばらしてもちこむと

25305
135
=1687
9
=187.44 cm

(本箱の高さは幅より大きいと部屋が十分大きいと仮定した。)
( 問題1,2も同様 )


◆出題者のコメント。

【問題3コメント】

とりあえず計算ミスがあると思います。
さらに、問題1の答えと値の大きさを比べてみてください。
ばらした方も計算ミスがあると思います。


◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。

x=pは

の正の実数解とします。

とすると最大の幅Lは三つのケースに分けられます。

ケース1)S≦C
このとき、L=CD
B
 です。

ケース2)C<S<C+W

このとき、L=T です。

ケース3)S≧W+C

このとき、

です。

ちなみに問題1)、2)にバラス場合の解答、計算ミスがあります。

正しい答え(多分)はそれぞれ
です。

問題3)は多分ケース2)でしょう。

またケース3)とケース2)の境目になるWの値は

を満たすWの最小の正の実数解でしょう。


◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。

【部屋の模様替え問題3コメントと解答】

アンパンマンさんの解答は、考え方・分類など大筋は正解です。
が、最終の答えが解説不足で出題者もトレースできません。
そこで以下に一つの解答を示します。
記号はアンパンマンさんによっています。
その他下図に規定のものとします。

上図の U,Vを未知数として方程式を立てる。
直線h上をUの先端が動くとき

(1)D=B sin(θ)+U cos(θ)

(2)C=B cos(θ)+V sin(θ)

(3)L=U+V

ここで 0<θ<π
2
、D>B>0、C>B>0

(1)より 

(1')U=D sec(θ)−B tan(θ)

このθ2回微分はD>Bなので

 U''
= sec3(θ){D+D*sin2(θ)−2B sin(θ)}
> sec3(θ)B{1−2sin(θ)+ sin2(θ)}
>0

(2)より

(2')V=C cosec(θ)−B cotan(θ)

このθ2回微分はC>Bなので

 V''
=cosec3(θ){C+C*cos2(θ)−2Bcos(θ)}
>cosec3(θ)B{1−2cos(θ)+ cos2(θ)}
>0

すなわち

(3')L''=U''+V''>0

つまり L(θ)は0<θ<π
2
において連続で、強い意味で下に凸であり、
唯一の極小値=最小値TをL'(Θmin)=0 においてもつ。なお

(4)L(θ)=D sec(θ)+C cosec(θ)−B sec(θ)cosec(θ)

直線h上における壁の部分は S=Lsin(θ)とおくとき 
C+W≧S≧C の範囲であるから

(A) sin-1(C+W
)≧Θmin≧sin-1(
)においては
 L(Θmin)=T

(B) Θmin≦sin-1(
)においては
 Lsin(θ)=C の解

(C) Θmin≧sin-1(C+W
)においては
 Lsin(θ)=C+W の解である。

(B)(C)からは最終的にアンパンマンさんの最初の解答式で
W=0、W=Wとした解が得られる.

L'(Θmin)=0を 一般的に解くのは無理のようなので、以後は数値解による。

L''(θ)>0 であるから L'(θ)は0<θ<π
2
で単調増加である。
よって余程とんでもない初期値を選ばない限り、ニュートン法などにより確実に極小点に収束する。

D=75、C=90、B=45において数値計算すると、
Θmin=0.8484053・・

これに対応する W=S−C=17.041・・
L=142.6778・・である。

よって、問題3の場合W=20なので(A)ケースとなり
L=約142.68cmである。

なお、ばらした時はB=0の意味だとすると、Lは下記値です。


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