◆福岡県の中学校３年生 新☆高校一年生 さんからの解答。
【問題１】
３：４：５の直角三角形など、明らかに存在する
◆神奈川県 raraちゃん さんからの解答。
【問題１】
存在する
三平方の定理よりc2＝a2 + b2
25=9+16なので 52＝32＋42
S=４×３÷２
底辺＝４、高さ３、斜辺＝５、面積＝６ですべて自然数となる。
◆兵庫県の高校生 石水雀 さんからの解答。
【問題１】
ある。例えば、辺が3,4,5で面積が6の三角形。
【問題２】
三角形の面積は、辺をそれぞれa,b,cとしたとき、ヘロンの公式より
sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)/16}と表される。
この式からa,b,cがすべて奇数ならば面積は自然数にはならない事が分かる。
よってa,b,cのうちの一つは偶数、つまり２。
しかし、あとのニ数を素数からどのようにとってもその二数の差は２以上となり、三角形を作ることはできない。
よって三辺の長さが全て素数で、かつ、面積が素数の三角形は存在しない。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
多分ピタゴラス数からなる直角３角形は除くとの想定だと思います。
存在する。
例
へロンの公式による。
相似となる３角形は最少のものとする。
一辺が１００以下。 A= 3
B= 4
C= 5
面積 6
A= 3
B= 25
C= 26
面積 36
A= 4
B= 13
C= 15
面積 24
A= 4
B= 51
C= 53
面積 90
A= 5
B= 5
C= 6
面積 12
A= 5
B= 5
C= 8
面積 12
A= 5
B= 12
C= 13
面積 30
A= 5
B= 29
C= 30
面積 72
A= 5
B= 51
C= 52
面積 126
A= 6
B= 25
C= 29
面積 60
A= 7
B= 24
C= 25
面積 84
A= 7
B= 65
C= 68
面積 210
A= 8
B= 15
C= 17
面積 60
A= 8
B= 29
C= 35
面積 84
A= 9
B= 10
C= 17
面積 36
A= 9
B= 40
C= 41
面積 180
A= 9
B= 73
C= 80
面積 216
A= 10
B= 13
C= 13
面積 60
A= 10
B= 17
C= 21
面積 84
A= 10
B= 35
C= 39
面積 168
A= 11
B= 13
C= 20
面積 66
A= 11
B= 60
C= 61
面積 330
A= 11
B= 90
C= 97
面積 396
A= 12
B= 17
C= 25
面積 90
A= 12
B= 35
C= 37
面積 210
A= 13
B= 13
C= 24
面積 60
A= 13
B= 14
C= 15
面積 84
A= 13
B= 20
C= 21
面積 126
A= 13
B= 30
C= 37
面積 180
A= 13
B= 37
C= 40
面積 240
A= 13
B= 40
C= 51
面積 156
A= 13
B= 68
C= 75
面積 390
A= 13
B= 84
C= 85
面積 546
A= 14
B= 61
C= 65
面積 420
A= 15
B= 26
C= 37
面積 156
A= 15
B= 28
C= 41
面積 126
A= 15
B= 34
C= 35
面積 252
A= 15
B= 37
C= 44
面積 264
A= 15
B= 41
C= 52
面積 234
A= 15
B= 52
C= 61
面積 336
A= 16
B= 17
C= 17
面積 120
A= 16
B= 25
C= 39
面積 120
A= 16
B= 63
C= 65
面積 504
A= 17
B= 17
C= 30
面積 120
A= 17
B= 25
C= 26
面積 204
A= 17
B= 25
C= 28
面積 210
A= 17
B= 28
C= 39
面積 210
A= 17
B= 39
C= 44
面積 330
A= 17
B= 40
C= 41
面積 336
A= 17
B= 87
C= 100
面積 510
A= 17
B= 89
C= 90
面積 756
A= 18
B= 41
C= 41
面積 360
A= 19
B= 20
C= 37
面積 114
A= 19
B= 60
C= 73
面積 456
A= 20
B= 21
C= 29
面積 210
A= 20
B= 37
C= 51
面積 306
A= 20
B= 51
C= 65
面積 408
A= 20
B= 53
C= 55
面積 528
A= 21
B= 41
C= 50
面積 420
A= 21
B= 61
C= 68
面積 630
A= 21
B= 82
C= 89
面積 840
A= 21
B= 89
C= 100
面積 840
A= 22
B= 61
C= 61
面積 660
A= 22
B= 85
C= 91
面積 924
A= 24
B= 35
C= 53
面積 336
A= 24
B= 37
C= 37
面積 420
A= 25
B= 25
C= 48
面積 168
A= 25
B= 29
C= 36
面積 360
A= 25
B= 33
C= 52
面積 330
A= 25
B= 34
C= 39
面積 420
A= 25
B= 38
C= 51
面積 456
A= 25
B= 39
C= 40
面積 468
A= 25
B= 39
C= 56
面積 420
A= 25
B= 51
C= 52
面積 624
A= 25
B= 51
C= 74
面積 300
A= 25
B= 52
C= 63
面積 630
A= 25
B= 63
C= 74
面積 756
A= 25
B= 74
C= 77
面積 924
A= 26
B= 35
C= 51
面積 420
A= 26
B= 51
C= 55
面積 660
A= 26
B= 51
C= 73
面積 420
A= 26
B= 73
C= 97
面積 420
A= 26
B= 75
C= 91
面積 840
A= 27
B= 29
C= 52
面積 270
A= 28
B= 45
C= 53
面積 630
A= 28
B= 65
C= 89
面積 546
A= 29
B= 29
C= 40
面積 420
A= 29
B= 29
C= 42
面積 420
A= 29
B= 35
C= 48
面積 504
A= 29
B= 52
C= 69
面積 690
A= 29
B= 52
C= 75
面積 546
A= 29
B= 65
C= 68
面積 936
A= 29
B= 75
C= 92
面積 966
A= 31
B= 68
C= 87
面積 930
A= 32
B= 53
C= 75
面積 720
A= 33
B= 34
C= 65
面積 264
A= 33
B= 41
C= 58
面積 660
A= 33
B= 56
C= 65
面積 924
A= 33
B= 58
C= 85
面積 660
A= 34
B= 55
C= 87
面積 396
A= 34
B= 61
C= 75
面積 1020
A= 34
B= 65
C= 93
面積 744
A= 35
B= 44
C= 75
面積 462
A= 35
B= 52
C= 73
面積 840
A= 35
B= 53
C= 66
面積 924
A= 35
B= 65
C= 82
面積 1092
A= 35
B= 78
C= 97
面積 1260
A= 36
B= 61
C= 65
面積 1080
A= 36
B= 77
C= 85
面積 1386
A= 37
B= 37
C= 70
面積 420
A= 37
B= 72
C= 91
面積 1260
A= 37
B= 91
C= 96
面積 1680
A= 38
B= 65
C= 87
面積 1140
A= 39
B= 41
C= 50
面積 780
A= 39
B= 55
C= 82
面積 924
A= 39
B= 58
C= 95
面積 456
A= 39
B= 62
C= 85
面積 1116
A= 39
B= 80
C= 89
面積 1560
A= 39
B= 85
C= 92
面積 1656
A= 40
B= 51
C= 77
面積 924
A= 41
B= 41
C= 80
面積 360
A= 41
B= 50
C= 73
面積 984
A= 41
B= 50
C= 89
面積 420
A= 41
B= 51
C= 58
面積 1020
A= 41
B= 66
C= 85
面積 1320
A= 41
B= 84
C= 85
面積 1680
A= 43
B= 61
C= 68
面積 1290
A= 44
B= 65
C= 87
面積 1386
A= 44
B= 75
C= 97
面積 1584
A= 48
B= 55
C= 73
面積 1320
A= 48
B= 85
C= 91
面積 2016
A= 50
B= 69
C= 73
面積 1656
A= 51
B= 52
C= 53
面積 1170
A= 51
B= 52
C= 97
面積 840
A= 51
B= 53
C= 100
面積 714
A= 51
B= 91
C= 100
面積 2310
A= 52
B= 61
C= 87
面積 1560
A= 52
B= 73
C= 75
面積 1800
A= 53
B= 53
C= 56
面積 1260
A= 53
B= 53
C= 90
面積 1260
A= 53
B= 75
C= 88
面積 1980
A= 56
B= 61
C= 75
面積 1680
A= 57
B= 65
C= 68
面積 1710
A= 57
B= 82
C= 89
面積 2280
A= 60
B= 73
C= 91
面積 2184
A= 61
B= 69
C= 100
面積 2070
A= 61
B= 74
C= 87
面積 2220
A= 61
B= 91
C= 100
面積 2730
A= 65
B= 65
C= 66
面積 1848
A= 65
B= 72
C= 97
面積 2340
A= 65
B= 76
C= 87
面積 2394
A= 65
B= 87
C= 88
面積 2640
A= 68
B= 75
C= 77
面積 2310
A= 68
B= 87
C= 95
面積 2850
A= 73
B= 73
C= 96
面積 2640
A= 75
B= 86
C= 97
面積 3096
A= 78
B= 89
C= 89
面積 3120
A= 78
B= 95
C= 97
面積 3420
A= 89
B= 99
C= 100
面積 3960
【問題２】
素数の３辺を、P1≦P2≦P3 とする。
1) P1=2
2) P1≧3
S=(P1+P2+P3)/2
H=SRRT((P1+P2+P3)*(P2+P3-P1)*(P3+P1-P2)*(P1+P2-P3))/4
存在しない。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
条件を満たす三角形は「ヘロン三角形」と呼ばれ、ピタゴラス数による三角形同様無数に存在します。
| 面積 | ６ | １２ | １２ | ２４ | ３０ | ３６ | ３６ | ４２ | ６０ | ６０ | ６０ | ６０ | ６６ | ７２ | ８４ | ８４ | ８４ | ８４ | … |
| ３辺 | ３ | ５ | ５ | ４ | ５ | ９ | ３ | ７ | １０ | ８ | １３ | ６ | １１ | ５ | １３ | １０ | ７ | ８ | |
| ４ | ５ | ５ | １３ | １２ | １０ | ２５ | １５ | １３ | １５ | １３ | ２５ | １３ | ２９ | １４ | １７ | ２４ | ２９ | ||
| ５ | ６ | ８ | １５ | １３ | １７ | ２６ | ２０ | １３ | １７ | ２４ | ２９ | ２０ | ３０ | １５ | ２１ | ２５ | ３５ |
【問題２】
条件を満たす三角形の３辺をａ,ｂ,ｃ、面積をＳとすると、
４Ｓ＝√{(ａ＋ｂ＋ｃ)(ｂ＋ｃ−ａ)(ｃ＋ａ−ｂ)(ａ＋ｂ−ｃ)}
このとき、ａもｂもcも奇数とすると、
√の中の各( )内はいずれも奇数ゆえ、４つの積が運良く平方数であっても右辺は奇数です。
すると、右辺は奇数なのに左辺は偶数なので明らかに矛盾します。
よって、ａ,ｂ,ｃの少なくとも１つは偶数(素数ゆえ２)でなければなりません。
ここで、少なくとも１辺は２と判ったので、他の２辺も考えてみます。
他の２辺が互いに異なるのであれば、２と３以外にはありません。
なぜなら、３以上の異なる２つの素数の差は２以上なので、三角形は形成できません。
ところが、唯一許された３辺が２,２,３の三角形は、面積が自然数ではありません。
他の２辺が互いに等しいのであれば、
２と２,３と３,５と５,７と７,… と等しい素数をどのようにとっても、三角形が形成できます。
このとき形成される三角形は、明らかに底辺が２の二等辺三角形です。
すると、二等辺三角形の高さは、Ｓに等しくなくてはなりません。
二等辺三角形の高さがＳならば、
明らかに等しい２辺のそれぞれは√(Ｓ2＋１)です。
ところが、Ｓは自然数ゆえ(Ｓ2＋１)は平方数にならず、
√(Ｓ2＋１)は自然数ではありません。
よって、条件を満たす三角形は存在しません。
◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
【問題２】
三辺が全て素数で、面積も素数であるとしてしまうと、
素数×高さ÷２＝素数
という関係が成り立ってしまう。
しかし素数はその数以外に素因数を持たないから、そのようなことはありえない。
従って、題意を満たす三角形は存在しない。
◆愛知県 迷子の雄猫 さんからのコメント。
＞素数×高さ÷２＝素数
＞という関係が成り立ってしまう。
＞しかし素数はその数以外に素因数を持たないから、そのようなことはありえない。
いえ、高さが２なら、底辺の長さと面積が同じなので、上記の関係は成り立ちます。
◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
【問題２解答の追加】
前回の解答を、「高さが２でない場合」とする。
高さが２の場合
高さが整数である以上、その高さによって分けられた２つの直角三角形は共にピタゴラス三角形でなければいけない。
しかし、３辺のどれか１つに長さが２である辺を持つピタゴラス三角形は存在しない。
なぜならｍ2＋ｎ2＝２，ｍ2−ｎ2＝２，２ｍｎ＝２（いずれもｍ＞ｎ）の少なくともどれか１つを満たす自然数ｍ，ｎは存在しないから。
従って高さが２でも、題意を満たす三角形は存在しない。
【感想】
文字を使わない証明にこだわってみようと思ったのですが、ダメでした…