『平行四辺形の角の二等分線』解答


◆石川県 わさび(デビル2号) さんからの解答。

【問題1】

いえる!証明はしてません…。すんません。
長方形にならない場合とは4辺が等しい場合!
つまり、正方形orひし形だと長方形ではなく、四角形ができない。

【問題2】

4角が直角なら正方形になる。


◆大阪府 Beatle さんからの解答。

【問題1】

四角形ABCDが平行四辺形である事から

∠DAB + ∠ABC = 180°

∠NBC + ∠NCB
= (∠DAB + ∠ABC)/ 2
= 90° ・・・(1)

∴∠BNCは90°

同様に
∠ALD、∠DMC、AKBも90°

A.四角形KLMNは長方形になる

(予備)

平行四辺形ABCDの四辺の長さが同じ時向かい合う角の2等分線が重なる為、四角形KLMNは点になる。
点を四角形としないのであればこの時四角形にならない

【問題2】

三角形ALDと三角形BNCは一辺とその両端の角が同じなので合同になる。
同様に三角形AKBと三角形CMDは合同。

辺BN−辺BK = 辺AL−辺AKになるのは、
辺BN=辺AL
辺BK=辺AKの時、

つまり△NBC、BNC、AKB、CMDが二等辺三角形になった時である。

それぞれの三角形が二等辺三角形になるのは、
(1)より∠NBC=∠NCB=45°

2等分線である事から

A.平行四辺形ABCDの角が90°の時


◆鹿児島県 ともひろ さんからの解答。

平行四辺形ABCDより

直線AB//直線DCで、AB=DC
直線AD//直線BCで、AD=BC

【問題1】

長方形を作ると言える。
平行四辺形ABCDがひし形(AB=BC=AD=BC)の場合は長方形にはならない。

【長方形である、証明】

∠BCDの二等分線、直線CNに平行な直線BPを引く。
また、直線BC上でBより左側の位置に点Qをとる。

直線AD//直線BCであるから、
 ∠BAD=∠ABQ‥‥錯角

直線AB//直線DCであるから、
 ∠DCB=∠ABQ‥‥同位角

また、∠BAD=∠DCBである。

∠BAD=∠DCB=∠ABQ

ここで、∠BAD、∠DCB、∠ABQの、おのおのの角を二等分する直線AKL、直線NMC、直線BPは平行であるといえる。

∠QBP+∠PBQ+∠ABK+∠CBK=180度

(∠QBP=∠PBQ)(∠ABK=∠CBK)

2∠ABP+2∠ABK=180度

2(∠ABP+∠ABK)=180度

∠ABP+∠ABK =90度

∠BAK+∠ABK =90度
(∠BAK=∠ABP‥‥錯角)

△ABKにおいて、
∠AKB=180度−(∠BAK+∠ABK)=90度
∠NKL=∠AKB‥‥対頂角
∠NKL=90度

なお、同様に∠NML=90度とおける。

∠QBP+∠ABP+∠ABK+∠CBK=180度

∠QCM+∠DCM+∠ABK+∠CBK=180度

2∠QCM+2∠CBK=180度

2(∠QCM+∠CBK)=180度

∠QCM+∠CBK =90度

△BCNにおいて、
∠BNC=180度−(∠QCM+∠CBK)=90度

∠KML=∠BNC=90度

なお、同様に∠KLM=90度とおける。

四角形KLMNは、すべての角が直角であるから四角形KLMNは長方形であると言える。
(証明終わり)

【長方形にならない場合】

 

長方形にならないときは、点K,点L,点M,点Nが存在しなくなる場合、
すなわち、∠Aの二等分線と∠Cの二等分線が一致し、∠Bの二等分線と∠Dの二等分線が一致した場合。

ここで、△BC’Aにおいて、
∠BAC’=∠AC’Bであるから、△BC’Aは二等辺三角形。

△C’D’B、△D’AC’、△ABD’も二等辺三角形。

よって、AB=BC’=C’D’=D’A’である。

したがって四辺の長さがすべて等しい平行四辺形ABC’D’はひし形であるといえる。
よって、ひし形の場合は長方形KLMNは存在しない。
(説明終わり)

【問題2】

平行四辺形ABCDが、正方形でない長方形ABCDの場合、正方形KLMNが存在する。

【証明】

 

正方形KLMNとなるためには、
 KL=LM=MN=NKとなる。

また、∠K=∠L=∠M=∠N=90度であるから
△KLM,△LMN,△MNK,△NKLは二等辺三角形となる。

後述のため、△MNKを△KNMとする。

ここで、点Kを通る直線BCに平行な直線KM’を引く。
(直線CNとの交点を点M’とする)

△KM’Nにおいて、
∠NKM’=∠NBC ∠NM’K=∠NCBである。

ここで、点M’が点Mと同一であり、△KM’Nが二等辺三角形になれば、長方形KLMNは正方形KLMNとなる。

そのためには
∠NKM’=∠NBC=45度
∠NM’K=∠NCB=45度となり、
∠ABC=90度 ∠BCD=90度となり、
∠BAD=90度 ∠CDA=90度となる。

したがって、平行四辺形ABCDは長方形である。

 

よって、長方形ABCDの場合、正方形KLMNとなる。

ただし、長方形ABCDが正方形の場合は、四角形KLMNが存在しなくなる。
平行四辺形ABCDが長方形(正方形ではない)の場合、正方形KLNMとなる。
(証明終わり)

●追記

∠K=∠L=∠M=∠Nは 長方形(正方形)KLMN 内においてのみの表現です。


◆埼玉県の中学校3年生 竜吉 公主 さんからの解答。

【問題1】

出来る。

(証明)

平行四辺形の定理より、角Aと角Bをたすと180度になる。
2等分線されているので角KABと角KBAをたすと90度になる。

三角形の外角はそれととなりあわない2つの内角の和に等しい。
角AKN=90度。

だから出来る。

【問題2】

四角形abcdが長方形のとき


◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。

【問題1】

長方形にならないのは、ABCDがひし形のとき。
角Aと角Cの二等分線、角Bと角Dの二等分線がそれぞれ重なってしまうから。
(というのは、この二等分線が対角線になってしまうからですね)

【問題2】

 

上図のように点P、Q、R、Sを定めます。

∠ABK=∠RBK=∠PQNなので
△ABQはAB=AQの二等辺三角形。
よってKはBQの中点になる。

同様に、MはCPの中点。

ABの中点をV、CDの中点をWとすると、
中点連結定理からVKはBCに平行、WMもBCに平行。
また、VWもBCに平行になる。

したがって、V・K・M・Wの4点はBCに平行な1本の直線上に存在する。
よってKMはBCに平行。

また、

 ∠MLN
=∠KML(KLMNは長方形だから)
=∠KBR(平行線の同位角)
=1/2∠ABR
=1/2∠CDQ
=∠CDM

したがってCDとLNは平行。

KLMNが正方形になるためには、対角線であるKMとNLが垂直になればいい。
このとき、BCとCDも垂直になる。
つまり、ABCDは長方形である。

・・・が、問題1より、ABCDが同時にひし形の特徴もそなえていたら(つまり、ABCDが正方形だったら)四角形KLMNは存在しなくなる。

というわけで、答えは
「ABCDが正方形ではない長方形であるとき」。


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