『光の反射』解答


◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。

4葉内サイクロイド

注)
黄:左入射反射光
紫:右入射1次反射光
赤/青:右入射1次および2次反射光
白:鏡面(Z)

  

 【導出】

x=2cos(t)+cos(2t)+1
y=2sin(t)−sin(2t)
Z=x+iy=2exp(it)+exp(-2it)+1 :3葉内サイクロイド
dZ
i
=2(exp(it)-exp(-2it))=4exp(-it/2)sinh(1.5t)

反射光の方向:D=−exp(-it)
反射光線:Z+s・D  ここでs:実数パラメータ  ----(1)

包絡線:E(t)={Z(t)+s(t)・D(t)=Z(t+Δ)+s(t+Δ)・D(t+Δ)   @limitΔ→0}

テーラー展開およびs=s (は共役)を利用し

sとdsの連立方程式(下記)を作成してこれをとけば(2)が得られる。

0=sdD +dsD +dZ

0=sdD+dsD+dZ

s= dZ×D-dZ×D
dD×D-dD×D
Im(dZ×D)
Im(dD×D)
 ―――(2)

Im( dZ×D
dt
)=Im(2i(exp(-2it)-exp(it)))=2Re(exp(-2it)-exp(it))

Im( dD×D
dt
)=Im(-i)=-1

(2)(1)に代入し整理すれば

E=Z+2Re(exp(-2it)-exp(it))D

E={2exp(it)+exp(-2it)+1}+(exp(2it)+exp(-2it)-exp(it)-exp(-it))*exp(-it)

E=3exp(it)+exp(-3it)

すなわち 4葉の内サイクロイドである。

【蛇足】

入射光が傾いても、サイクロイドで綺麗です。

E=exp(ip){3exp(i(t-p))+exp(-3i(t-p))}+1-exp(4ip)


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