◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
4葉内サイクロイド
注)
黄:左入射反射光
紫:右入射1次反射光
赤/青:右入射1次および2次反射光
白:鏡面(Z)
【導出】
x=2cos(t)+cos(2t)+1 |
y=2sin(t)−sin(2t) |
Z=x+iy=2exp(it)+exp(-2it)+1 :3葉内サイクロイド |
dZ dit | =2(exp(it)-exp(-2it))=4exp(-it/2)sinh(1.5t) |
反射光の方向:D=−exp(-it) |
反射光線:Z+s・D ここでs:実数パラメータ ----(1) |
包絡線:E(t)={Z(t)+s(t)・D(t)=Z(t+Δ)+s(t+Δ)・D(t+Δ) @limitΔ→0} |
テーラー展開およびs=s* (*は共役)を利用し |
sとdsの連立方程式(下記)を作成してこれをとけば(2)が得られる。 0=sdD +dsD +dZ |
0=sdD*+dsD*+dZ* |
s= |
dZ*×D-dZ×D* dD×D*-dD*×D | = |
Im(dZ*×D) Im(dD×D*) | ―――(2) |
Im( |
dZ*×D dt | )=Im(2i(exp(-2it)-exp(it)))=2Re(exp(-2it)-exp(it)) |
Im( |
dD×D* dt | )=Im(-i)=-1 |
(2)(1)に代入し整理すれば |
E=Z+2Re(exp(-2it)-exp(it))D |
E={2exp(it)+exp(-2it)+1}+(exp(2it)+exp(-2it)-exp(it)-exp(-it))*exp(-it) |
E=3exp(it)+exp(-3it) すなわち 4葉の内サイクロイドである。 |
【蛇足】
入射光が傾いても、サイクロイドで綺麗です。
E=exp(ip){3exp(i(t-p))+exp(-3i(t-p))}+1-exp(4ip)