◆東京都 ぽこぺん さんからの解答
【問題１・２】
素数pに対して，p以下のすべての素数の積は
「素数階乗 p# (primorial)」と呼ばれる。
いま，p の次の素数を p' で表すとき，引き続いた p'-2 個の整数
p#+2, p#+3, p#+4, ..., p#+(p'-1)
は明らかにすべて合成数である。
p＝11 のとき，11# + 1 = 2311 は素数であり，上記により
2312〜2322 の引き続いた 11 個の整数はすべて合成数である (→問題１)。
さらに
11# + 13 = 2323 = 23×101
11# + 17 = 2327 = 13×179
11# + 19 = 2329 = 17×137
11# + 23 = 2333 →素数
であるから，2323〜2332 もすべて合成数である。
したがって，全体として2312〜2332 の引き続いた 21 個の整数はすべて合成数である (→問題２)。
【問題３】
P = 3×5×7×13 = 1365 とおく。このとき，n を整数として
(奇数)×P + (2n+1) ... 2 の倍数
(奇数)×P + 6n ... 3 の倍数
(奇数)×P + 10n ... 5 の倍数
(奇数)×P + 14n ... 7 の倍数
(奇数)×P + 26n ... 13 の倍数
となる。7×P に関しては，上記にあてはまらない次の6つの数が確認できる。
7×P + 2 = 9557 ... 19 の倍数
7×P + 4 = 9559 ... 11 の倍数
7×P + 8 = 9563 ... 73 の倍数
7×P + 16 = 9571 ... 17 の倍数
7×P + 22 = 9577 ... 61 の倍数
7×P + 32 = 9587 ... 素数
さらに，
7×P - 2 = 9553 ... 41 の倍数
7×P - 4 = 9551 ... 素数
であるので，これらをまとめて，
9552〜9586 の引き続いた 35 個の整数はすべて合成数である。