◆東京都 けめ丸 さんからの解答。
どんな一筆書きも、必ず交差しないようにすることができます。
具体的には、次のようにします。
まず、交差を許して、一筆書きのルート
(スタート地点、ゴール地点、進行方向)をひとつ決めます。
次に、スタート地点からルートに従って進んでいき、交差に遭遇したら、その都度、以下のルールに従ってルートを変更します。
D D ↑ ↑ A→・→B(交差)を A→・←B(非交差)にとりかえる。 ↑ ↓ C C図のAは、今交差に進入してきた道を表している。
交差していたときには、
A→B→[*]→C→Dの順で一筆書きされていたのですから、
A→C→[*]→B→Dの非交差ルートは、[*]を逆行しているだけで、もちろん一筆書きルートです。
またこのことから、ルートが連結性を保つことも分かります。
ここでは十字路(4差路)のみを考えていますが、6差路や8差路などの多重交差点は、4差路にほどいてから上記のルールを適用すればよいので、問題ありません。
また、3差路や5差路などの奇数交差点は、必ずそこがスタート地点かゴール地点になっているはずなので、スタートもしくはゴールする道を交差点から外してよく、結局偶数交差点に帰着されます。
交差点に出会う度に上記のルールに従って変更すれば、ゴールしたときには、交差のないルートが得られていることは明らかでしょう。