◆千葉県 CAT さんからの解答。
Nが次の場合 自然数Ｎから数字を一つ消して新たな数Ｍにしたとき Ｍ＝Ｎ／９ となる。
（末尾の数字が「０」のＮは 「０」を何個でもつけることが可能）
N=45 M=5 N=450 M=50 N=135 M=1 N=1350 M=150 N=225 M=25 N=2250 M=250 N=315 M=35 N=3150 M=350 N=405 M=45 N=4050 M=4450 N=675 M=75 N=6750 M=750 N=1125 M=125 N=11250 M=1250 N=2025 M=225 N=20250 M=2250 N=5625 M=625 N=56250 M=6250 N=1575 M=175 N=15750 M=1750 N=2475 M=275 N=24750 M=2750 N=3375 M=375 N=33750 M=3750 N=4275 M=475 N=42750 M=4750 N=6075 M=675 N=60750 M=6750 N=7875 M=875 N=78750 M=8750 N=12125 M=1125 N=101250 M=11250 N=14625 M=1625 N=146250 M=16250 N=12375 M=1375 N=123750 M=13750 N=16875 M=1875 N=168750 M=18750
◆東京都 建築家 さんからの解答。
Nを消す数字をｂ（０≦ｂ＜１０）として
N＝a＋b＊１０n＋c＊１０n＋１
と分解してみます。
ただし a＜１０n
するとｂを消したMは
M＝a＋c＊１０n
となります。
N＝９Mですので、これをまとめると
８a＝（b＋c）＊１０n ・・・(i)
となります。
a＜１０n でしたので、
（b＋c）＜８になります。 ・・・(ii)
一方８aも（１０n）の倍数になりますので
a＝（k＊１０n）/８ ＜１０n
（１≦k≦７ ：kは整数）・・・(iii)
この(i)(ii)(iii)を満たせばよいようなのでたくさんありそうです。
例えば (N,M)＝（５２８７５、５８７５）などですね。
◆東京都 かえる さんからの解答。
Ｎの一の位を消してＭを作るとすると、Ｎ≧１０Ｍとなり明らかに題意を満たさない。
よって、ＮとＭの一の位は同じ数字になるが、９倍して一の位が変わらないのは０か５なので、ＮとＭの一の位は０か５。
ここでＮとＭの一の位が０の場合は両者をともに１０で割って考える。
この２数についても一の位はともに０か５であるので、１０で割り続ければ、いずれはともに一の位が５になる。
この数をＮ’とＭ’として以下考える。
【１】Ｎ’の十の位を消してＭ’を作る場合
Ｎ’＝Ａ・１００＋Ｂ・１０＋５
Ｍ’＝Ａ・１０＋５
（但しＡは非負整数、Ｂは０≦Ｂ≦９の整数）
Ｍ’＝Ｎ’／９ ⇔ Ａ＋Ｂ＝４ ⇔ (Ａ，Ｂ)＝(４，０)，(３，１)，(２，２)，(１，３)，(０，４) ⇔ Ｎ’＝４０５，３１５，２２５，１３５，４５【２】Ｎ’の１０n-1（ｎはｎ≧３の整数）の位を消してＭ’を作る場合
Ｎ’＝Ａ・１０n＋Ｂ・１０n-1＋Ｃ・１０＋５
Ｍ’＝Ａ・１０n-1＋Ｃ・１０＋５
（但しＡは非負整数、Ｂは０≦Ｂ≦９の整数、
Ｃは０≦Ｃ≦１０n-2−１の整数、ｎはｎ≧３の整数）
Ｍ’＝Ｎ’／９⇔ （Ａ＋Ｂ）・１０n-2＝８Ｃ＋４
ここで、ｎがｎ≧５の整数のとき、左辺は８で割り切れるにもかかわらず、右辺は８で割り切れないので不適。
従って、ｎ＝３，４
【２−１】ｎ＝３のとき
１０（Ａ＋Ｂ）＝８Ｃ＋４
（但しＡは非負整数、Ｂは０≦Ｂ≦９の整数、Ｃは０≦Ｃ≦９の整数）
より Ｃ＝２，７ ゆえ
（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝
（２，０，２），（１，１，２），（０，２，２），
（６，０，７），（５，１，７），（４，２，７），
（３，３，７），（２，４，７），（１，５，７），（０，６，７）
⇔
Ｎ’＝
２０２５，１１２５，２２５，６０７５，
５１７５，４２７５，３３７５，２４７５，
１５７５，６７５
【２−２】ｎ＝４のとき
１００（Ａ＋Ｂ）＝８Ｃ＋４
（但しＡは非負整数、Ｂは０≦Ｂ≦９の整数、Ｃは０≦Ｃ≦９９の整数）
より Ｃ＝１２，３７，６２，８７ ゆえ
（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝
（１，０，１２），（０，１，１２），（３，０，３７），
（２，１，３７），（１，２，３７），（０，３，３７），
（５，０，６２），（４，１，６２），（３，２，６２），
（２，３，６２），（１，４，６２），（０，５，６２），
（７，０，８７），（６，１，８７），（５，２，８７），
（４，３，８７），（３，４，８７），（２，５，８７），
（１，６，８７），（０，７，８７）
⇔
Ｎ’＝
１０１２５，１１２５，３０３７５，２１３７５，
１２３７５，３３７５，５０６２５，４１６２５，
３２６２５，２３６２５，１４６２５，５６２５，
７０８７５，６１８７５，５２８７５，４３８７５，
３４８７５，２５８７５，１６８７５，７８７５
以上より、Ｎは、
（十の位を消す）
４０５，３１５，２２５，１３５，４５
（百の位を消す）
２０２５，１１２５，２２５（既出），６０７５，５１７５，
４２７５，３３７５，２４７５，１５７５，６７５
（千の位を消す）
１０１２５，１１２５（既出），３０３７５，２１３７５，
１２３７５，３３７５（既出），５０６２５，４１６２５，
３２６２５，２３６２５，１４６２５，５６２５，７０８７５，
６１８７５，５２８７５，４３８７５，３４８７５，２５８７５，
１６８７５，７８７５
の１０k-1倍（ｋは自然数）・・・【答】
◆東京都 ぽこぺん さんからの解答。
N の一の位を消して M を作る場合は，M ≦ N/10 が成立するから，題意を満たすことはできない。
したがって，N において，消去する桁よりも下位に n 桁 （n≧1） あるとしてよい。
このとき，自然数 N，M は，整数 x，y，z を用いて，
N = 10n(10x + y) + z
M = 10n x + z
0 ≦ x (1)
0 ≦ y ＜ 10 (2)
0 ≦ z ＜ 10n (3)
とおくことができ，題意の関係は
10n (10x + y) + z = 9 (10n x + z)
すなわち，
10n (x + y) = 8z (4)
と書くことができる。
ここで，z = 0 とすると，x = y = z = 0 すなわち N = 0 となるから適さない。
したがって，(3) の代わりに
0 ＜ z ＜ 10n (3')となる。
(1) n = 1 のとき，(4) は
5(x + y) = 4z
となり，5 と 4 は互いに素であるから，t を整数として
x + y = 4t
z = 5t (5)
とおける。さらに，1 桁の整数 y をパラメ−タと考えれば，
x = 4t - y (6)
と書ける。ここで，(3') と (5) より，
t = 1となり，(1)，(2)，(6) より，
(t, y) = (1, 0)，(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)
すなわち，
(x, y, z) = (4, 0, 5)，(3, 1, 5)，(2, 2, 5)，(1, 3, 5)，(0, 4, 5)
を得る。
(2) n = 2 のとき，(4) は
25(x + y) = 2z
となり，25 と 2 は互いに素であるから，t を整数として
x + y = 2t
z = 25t (7)
とおける。さらに，1 桁の整数 y をパラメタと考えれば，
x = 2t - y (8)
と書ける。ここで，(3') と (7) より，
t = 1，2，3であるから，(1)，(2)，(8) より，
(t, y) =
(1, 0)，(1, 1)，(1, 2)，
(2, 0)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(2, 4)，
(3, 0)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)
を得る。したがって，
(x, y, z) =
(2, 0, 25)，(1, 1, 25)，(0, 2, 25)，
(4, 0, 50)，(3, 1, 50)，(2, 2, 50)，(1, 3, 50)，(0, 4, 50)，
(6, 0, 75)，(5, 1, 75)，(4, 2, 75)，(3, 3, 75)，(2, 4, 75)，(1, 5, 75)，(0, 6, 75)
を得る。
(3) n ≧ 3 のとき，(4) は
125・10n-3 (x + y) = z
となるから，t を整数として
x + y = t
z = 125・10n-3 t (9)
とおける。さらに，1 桁の整数 y をパラメタと考えれば，
x = t - y (10)
と書ける。ここで，(3') と (9) より，
t = 1，2，3，4，5，6，7
であるから，(1)，(2)，(10) より，
(t, y)= (1, 0)，(1, 1)， (2, 0)，(2, 1)，(2, 2)， (3, 0)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)， (4, 0)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)， (5, 0)，(5, 1)，(5, 2)，(5, 3)，(5, 4)，(5, 5)， (6, 0)，(6, 1)，(6, 2)，(6, 3)，(6, 4)，(6, 5)，(6, 6)， (7, 0)，(7, 1)，(7, 2)，(7, 3)，(7, 4)，(7, 5)，(7, 6)，(7, 7)を得る。
したがって，この 35 組を用いて (9)，(10) により x，z を定めたものはすべて解となる。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
N M
45 5
135 15
225 25
315 35
405 45
450 50
675 75
1125 125
1350 150
1575 175
2025 225
2250 250
2475 275
3150 350
3375 375
4050 450
4275 475
4500 500
5175 575
5625 625
6075 675
6750 750
7875 875
10125 1125
11250 1250
12375 1375
13500 1500
14625 1625
15750 1750
16875 1875
20250 2250
21375 2375
22500 2500
23625 2625
24750 2750
25875 2875
30375 3375
31500 3500
32625 3625
33750 3750
34875 3875
40500 4500
41625 4625
42750 4750
43875 4875
45000 5000
50625 5625
51750 5750
52875 5875
56250 6250
60750 6750
61875 6875
67500 7500
70875 7875
78750 8750
101250 11250
112500 12500
123750 13750
135000 15000
146250 16250
157500 17500
168750 18750
202500 22500
213750 23750
225000 25000
236250 26250
247500 27500
258750 28750
303750 33750
315000 35000
326250 36250
337500 37500
348750 38750
405000 45000
416250 46250
427500 47500
438750 48750
450000 50000
506250 56250
517500 57500
528750 58750
562500 62500
607500 67500
618750 68750
675000 75000
708750 78750
787500 87500
1012500 112500
1125000 125000
1237500 137500
1350000 150000
1462500 162500
1575000 175000
1687500 187500
2025000 225000
2137500 237500
2250000 250000
2362500 262500
2475000 275000
2587500 287500
3037500 337500
3150000 350000
3262500 362500
3375000 375000
3487500 387500
4050000 450000
4162500 462500
4275000 475000
4387500 487500
4500000 500000
5062500 562500
5175000 575000
5287500 587500
5625000 625000
6075000 675000
6187500 687500
6750000 750000
7087500 787500
7875000 875000
10125000 1125000
11250000 1250000
12375000 1375000
13500000 1500000
14625000 1625000
15750000 1750000
16875000 1875000
20250000 2250000
21375000 2375000
22500000 2500000
23625000 2625000
24750000 2750000
25875000 2875000
30375000 3375000
31500000 3500000
32625000 3625000
33750000 3750000
34875000 3875000
40500000 4500000
41625000 4625000
42750000 4750000
43875000 4875000
45000000 5000000
50625000 5625000
51750000 5750000
52875000 5875000
56250000 6250000
60750000 6750000
61875000 6875000
67500000 7500000
70875000 7875000
78750000 8750000
101250000 11250000
112500000 12500000
123750000 13750000
135000000 15000000
146250000 16250000
157500000 17500000
168750000 18750000
202500000 22500000
213750000 23750000
225000000 25000000
236250000 26250000
247500000 27500000
258750000 28750000
303750000 33750000
315000000 35000000
326250000 36250000
337500000 37500000
348750000 38750000
405000000 45000000
416250000 46250000
427500000 47500000
438750000 48750000
450000000 50000000
506250000 56250000
517500000 57500000
528750000 58750000
562500000 62500000
607500000 67500000
618750000 68750000
675000000 75000000
708750000 78750000
787500000 87500000
1012500000 112500000
1125000000 125000000
1237500000 137500000
1350000000 150000000
1462500000 162500000
1575000000 175000000
1687500000 187500000
2025000000 225000000
2137500000 237500000
2250000000 250000000
2362500000 262500000
2475000000 275000000
2587500000 287500000
3037500000 337500000
3150000000 350000000
3262500000 362500000
3375000000 375000000
3487500000 387500000
4050000000 450000000
4162500000 462500000
4275000000 475000000
4387500000 487500000
4500000000 500000000
5062500000 562500000
5175000000 575000000
5287500000 587500000
5625000000 625000000
6075000000 675000000
6187500000 687500000
6750000000 750000000
7087500000 787500000
7875000000 875000000