◆東京都 かえる さんからの解答。
(a+b)(a+c)=b ---(1)
(b+c)(b+a)=c ---(2)
(c+a)(c+b)=a ---(3)
⇔
(a+b)(a-b)=b-c ---(4) ((1)-(2))
(b+c)(b-c)=c-a ---(5) ((2)-(3))
(c+a)(c-a)=a-b ---(6) ((3)-(1))
→
{(a+b)(b+c)(c+a)-1}(a-b)(b-c)(c-a)=0 ---(7) ((4)・(5)・(6))
ここでa=bとすると(4)よりb=cとなりa=b=c
| (1)に代入して4a2=aよりa=b=c=0, | 1 4 |
ゆえ、 |
従って、a≠b
同様に、b≠c,c≠a
(7)より
(a+b)(b+c)(c+a)=1 ---(8)
(8)を(1)(2)(3)に代入して、
| c= | 1 b |
-b ---(9) |
| a= | 1 c |
-c ---(10) |
| b= | 1 a |
-a ---(11) |
(11)を(9)に代入して
| c= | -1+3a2-a4 a(1-a2) |
---(12) |
(12)を(10)に代入して
(2a2-1)(a6-5a4+6a2-1)=0 ---(13)
ここでx3-5x2+6x-1=0はx＞0に３実数解を持つので、(13)も全て実数解となり、実数でない複素数解はない。
解なし【答】