◆滋賀県 ippei さんからの解答。
余弦定理から
AC2=a2+d2-2adcosB (1)
AC2=b2+c2+2bccosB (2)
この２式から
| cosB= | a2+d2-(b2+c2) 2(ad+bc) | (3) |
(3)を(1)に代入すると、
| AC2= | (ab+cd)(ac+bd) ad+bc |
故に
BDについてはa,b,c,dの輪環の順での変更により
◆神奈川県 数楽者 さんからのコメント。
ippeiさんの解答に対するコメントです。
対角線の長さの積をとると、対辺の積の和になります。
ＡＣ×ＢＤ＝ａｃ＋ｂｄ
これに対するわかりやすい説明はあるのでしょうか？
◆出題者の フェイク さんからのコメント。
実は、数楽者さんのコメントにある関係式と少しの計算とでこの問題は解けます。
暇なヒトはどうぞ。
◆京都府 sambaGREEN さんからのコメント。
数楽者さんのコメントに対するコメントです。
「ＡＣ×ＢＤ＝ａｃ＋ｂｄ」は
「トレミーの定理」という結構有名な定理ですよね。
これをもとにしたと思われる問題が高校入試でも時折，見受けられます。
（誘導付きで証明させるのも含めて・・）
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
AC2
=a2+d2-2ad*cos(ABC)
=b2+c2-2bc*cos(ADC)
=b2+c2+2bc*cos(ABC)
↓
cos(ABC)=(a2+d2-b2-c2)/(2(ad+bc))
◆東京都の中学校３年生 もやし さんからの解答。
トレミーの定理の証明（結構有名ですが）
円に内接する四角形ＡＢＣＤの対角線ＢＤ上に、∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤとなるような点Ｅをとる。
△ＡＢＣと△ＡＥＤにおいて、
∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ（∵仮定）と∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＥ（∵円周角の定理）より、二角相等なので、
△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ
よって、
ＡＣ：ＡＤ＝ＢＣ：ＥＤ
ＡＣ×ＥＤ＝ＡＤ×ＢＣ …(1)
△ＡＢＥと△ＡＣＤにおいて、
∠ＢＡＥ
＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＥ
＝∠ＥＡＤ＋∠ＣＡＥ
＝∠ＣＡＤ
これと∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ（∵円周角の定理）より、二角相等なので、
△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ
よって、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＣＤ
ＡＢ×ＣＤ
＝ＡＣ×ＢＥ
＝ＡＣ（ＢＤ−ＥＤ）
＝ＡＣ×ＢＤ−ＡＣ×ＥＤ …(2)
(1)を(2)に代入して、
ＡＢ×ＣＤ＝ＡＣ×ＢＤ−ＡＤ×ＢＣ
整理して、
ＡＢ×ＣＤ＋ＡＤ×ＢＣ＝ＡＣ×ＢＤ
よって、円に内接する四角形の対辺同士の積の和は、対角線の積に等しくなる。