◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
サイコロをＭ回振ったときのＰ(N)が最大になるＮは、
Ｍが２回以上のとき
Ｍ：偶数 Ｎ＝７Ｍ／２
Ｍ：奇数 Ｎ＝７Ｍ／２±１／２
【問題２】
(１＋Ｘ＋Ｘ2＋Ｘ3＋Ｘ4＋Ｘ5)M
この式を展開したときの最大の係数をＫとするとき
（６項定理？の係数の最大のもの）
Ｐ(N)＝Ｋ／６M
Ｋの一般項がわかりません。
6,27,146,780,4332,24017,135954,767394,4395456,25090131 144840476,833196442,4836766584,27981391815,163112472594 947712321234,5542414273884,32312202610863,189456975899496 1107575676600876Ｍ＝２１のとき
１０進ベーシックでプログラムを組んで最大の係数を求めてみました。
１００回
Ｐ(350)＝.02332
Ｐ(N)の極限値は０が予想されます。
REM ６項定理？の最大の係数
DIM A(501)
DIM S(6,501)
REM START １回
FOR I=1 TO 6
LET A(I)=1
NEXT I
REM ２回から１００回まで
FOR K=1 TO 99
FOR I=1 TO 6
FOR J=1 TO 5*K+1
LET S(I,J+I-1)=A(J)
NEXT J
NEXT I
FOR I=1 TO 5*(K+1)+1
LET T=0
FOR J=1 TO 6
LET T=T+S(J,I)
NEXT J
LET A(I)=T
NEXT I
LET MAX=0
FOR I=1 TO 5*(K+1)+1
IF A(I)>MAX THEN
LET MAX=A(I)
END IF
NEXT I
PRINT USING "###":K+1;
PRINT MAX
PRINT USING "#.#####":MAX/(6^(K+1))
PRINT
NEXT K
END
2 6
.16667
3 27
.12500
4 146
.11265
5 780
.10031
6 4332
.09285
7 24017
.08579
8 135954
.08094
9 767394
.07615
10 4395456
.07269
11 25090131
.06916
12 144840476
.06654
13 833196442
.06379
14 4836766584
.06172
15 27981391815
.05951
16 163112472594
.05782
17 947712321234
.05599
18 5542414273884
.05457
19 32312202610863
.05303
20 189456975899496
.05182
21 1107575676600876
.05049
22 6507792553644256
.04944
23 38131413053103057
.04828
24 224442843729333276
.04737
25 1317597742043221900
.04634
26 7766945604528200460
.04553
27 45670111932745529235
.04462
28 269557528994032024080
.04390
29 1587232097679403612170
.04308
30 9378595792117360310832
.04242
31 55291111957193043094857
.04168
32 327017244511609684632594
.04109
33 1929978244648467274004370
.04042
34 11424476161675991440689036
.03987
35 67488391964556504853694370
.03926
36 399797785901812974871076084
.03876
37 2363739566165652500295728504
.03819
38 14012116583204824703571725688
.03774
39 82907103755835453891805670493
.03721
40 491766880711435069757072784104
.03679
41 2911681569724732462910227627704
.03630
42 17280234973199861335975222179720
.03591
43 102377184072927635142231184953966
.03546
44 607890621848212379618095077152496
.03509
45 3603495213218954478372392438780130
.03467
46 21406409006231554184303389943026848
.03432
47 126959848633320332188497187361232663
.03393
48 754514081910546708623210683949351196
.03361
49 4477088334135727117309684346411373756
.03323
50 26617249029052543563966858745544940456
.03293
51 158008716644446928751499711727674353081
.03258
52 939728179445124222588964143659906648556
.03230
53 5580785810969201137408606815688614586572
.03197
54 33201586763228402130359862362415284609016
.03170
55 197248814123264740804358146647216248259105
.03138
56 1173842892516729245845822774367393930802192
.03113
57 6976162183870857022468774101557227920183552
.03083
58 41527433960682343361700799934310335307022524
.03059
59 246878041666222999186073945152587402865052589
.03031
60 1469994555407527731409778633438572608685855176
.03008
61 8741674247054532417771540644580177486909159726
.02981
62 52063719871825630541700535655808370832878865376
.02959
63 309697176626396751306783072610692819886550871447
.02934
64 1844923705770089423116503483793291954403447510034
.02913
65 10977312539149555389139184781038254399449676534290
.02888
66 65408120901210035517222129123532118523965264497324
.02868
67 389276283975888299812215107138167819378460086956014
.02845
68 2319970680423645816826501786967894741243773674276324
.02826
69 13810554480985148556430446154601564565697420975631448
.02804
70 82322676350451020456576824761097159325976247389332184
.02786
71 490167678548961274774085927194748580172060927895205414
.02764
72 2922349703239321796022952904135063686897700668968726516
.02747
73 17403982771088235649955781482143130433396991835864586324
.02727
74 103779367440687099299199394750205889805083603606293625216
.02710
75 618178468986751513642829396879354416058293108451284001550
.02690
76 3686779477612576435640908778030167167774413139303043336280
.02674
77 21965035887179947434735661825061808904213736880229065592530
.02655
78 131018454439668875223623758283268482709901272869529911258640
.02640
79 780719407359921988291460803249185499640614834737339905427035
.02621
80 4657570399133848587163207345834512518581291494210077151418344
.02607
81 27758489757227738494082658567925809175477671172937667896254344
.02589
82 165623158033968256813947716333732102158739322895984181758079568
.02575
83 987251502649638946948487752820779299157076735866766770410772350
.02558
84 5891296841709472808574725786108275264535175470495473237160514312
.02544
85 35122439218121034887855367126880017823204358599367556419732403240
.02528
86 209615286074254676433538811797362776803692864857090967090858892368
.02514
87 1249857929798519779378703495230095051705164624692461097154217680058
.02499
88 7460219329901624551496717472349731281780761350150699618697782844656
.02486
89 44488765463053332811795699333592288424672864360269973704394463747536
.02471
90 265577709452545287170985883604076060450741153193382605602652676904684
.02458
91 1583976561631636185078082260720118256213402071500089839087145647425909
.02443
92 9456668082746186968218659127490240194287017827416662193166183090969624
.02431
93 56409355000812046732301080275063472242601808045152445063208127155980538
.02417
94 336811263232929187051782027127748550778038414239380660897179675549149952
.02405
95 2009338459911175200964431951771549417391154699781916119762530506622334105
.02392
96 11998659341715561697516117784962561658524711375801224986137530995761411356
.02380
97 71589694321556890851710900975824657372524979966423138893777256044924980956
.02367
98 427535796706627576461556386163611903064881548505977288839622414109689912616
.02356
99 2551170515416650429101001087102102059050618200983153403238264524389101963812
.02343
100 15237092858379903128111407924086725562812976591205826140530848189030092709496
.02332
【問題２追加】
５００回
Ｐ(1750)=0.01044
１０００回
Ｐ(3500)=0.00739
◆大阪府 河野 進 さんからの解答。
【問題２】の答えは大阪市立大学の橋本先生に教えて頂きました。
問題の解釈が間違っているかも知れませんが、
p(n) は
| (1)p(n)= | 7n-1 ――― 6n | (1≦n≦6). |
| (2)p(n)= | n-1 Σ i=n-6 | p(i) ――― 6 | (7≦n). |
で決まる数列になると思います。
最初の６項は狭義単調増加で、７項以降は先行する６つの項の平均ですから
p(n) は n = 6 の時、最大値 75/66 をとります。
従って【問題１】の答えは６です。
(2) から、ある続いた６項の最大値を M、最小値を mとすると次の６項は、
| 区間 [ | 5M+m ―――― 6 | , | M+5m ―――― 6 | ] に値を取ると言えるので |
極限値を α とします。次に
| q(n) = | 6 Σ i=1 | i･p(n+i-1) |
によって、数列 {q(n)}を定義しますと、(2) より
q(n+1) = q(n) = ･･･= q(1) = 6
となります。
一方 {q(n)} は 21αに収束しますから
21α= 6，α= 2/7となります。
従って【問題２】の答えは 2/7 です。
この様に一般項を求める必要は無いのですが、求めました。
数列 { fk(n) }, {ps(n)} を
fk(n) = (-1)k(n-6kＣk+6･n-6k-1Ｃk-1)
| ps(n) = | s Σ k=0 | fk(n) | ( | 7n-7k-1 ―――― 6n-6k | ) |
によって定義します。
但し、iＣkは i 個のものから k 個のものを選ぶ組み合わせの数で
k＜0に対しても 0 で定義します。
この時
(3)p(n) = p[n/7](n).
(4)p(n) = ps(n) (6s+1≦n≦7s+6).
が成立します。