◆神奈川県 ＠ＪＪＪＪＪＪ さんからの解答。
a(n-1)a(n-2)...a(0)=2n*p(n-1)とおく。
すると、
a(n)a(n-1)...a(0)=10n*a(n)+2n*p(n-1)=2n+1*p(n)
従って、
p(n)=(p(n-1)+5n*a(n))/2となる。
そこで、
p(n-1)が奇数のとき、a(n)=1
p(n-1)が偶数のとき、a(n)=2
と置けばよく、n→∞とすることができる。
具体的には、
a(0)=2=2*p(0)，p(0)=1
a(1)=1，p(1)=3
a(2)=1，p(2)=14
a(3)=2，p(3)=132
a(4)=2，p(4)=691
.......
と、無限に存在する。
◆大阪府 らぶりぃナナちゃん さんからの解答。
任意のnに対して、A(0)=11…1(１がn個続いたもの)とする。
A(i)を以下のように定める。
A(i)=A(i-1)：A(i-1)が2iで割り切れる時
A(i)=A(i-1)+10i-1：A(i-1)が2iで割り切れない時
上の式より、明らかにA(i)は2iで割り切れる様に定められる。
よって、A(n)は2nで割り切れる。
また、A(n)はその作り方より1と2だけで作られた数である。
よって任意の数nに対して2nで割り切れる1と2のみで作られた数が存在する。
よって、無限に存在する。
因みに、求めた数の上位に任意の1と2で作られた数を付け加えた数も2nで割り切れます。
◆東京都 昔とった杵柄 さんからの解答。
題の例の 「N = 2, 12, 112」を眺めていて、
もしかして、前に 1 か 2 を、くっつけていくのかな、と思いました。
それで、次のような数列: a(n)を考えてみました。
a(1) = 2
a(n) = 1 * 10n-1 + a(n-1)：a(n-1) が 2n で割り切れない場合
a(n) = 2 * 10n-1 + a(n-1)：a(n-1) が 2n で割り切れる場合
● この a(n) は、2n で割り切れます。
∵ (数学的帰納法)
a(1) は 2 で割り切れています。
a(n-1) が、2n-1 で割り切れると仮定します。
10n-1 = 2n-1 * 5n-1 なので、
10n-1 を 2n で割った場合は、余りが 1 になります。
また、 2＊10n-1は、 2n で割り切れる事になるので、
どっちの場合でも、a(n)は 2n で割り切れます。
例) a(8) = 12122112 = 47352 * 28
こういう意味で、1 と 2 だけで出来ている整数でも、 2n で割りきれるモノは、無限にあるというのが、私の結論です。
＜余談＞
2n を並べて、様子を見た時に思ったのですが、
下2桁が 12 になるのは、
29 = 512 、 229＝ 536870912 、…
と、20回間隔で出現していました。
下3桁が 112 になるのは、100回間隔で出現したのですが、
これを進めると、「2n の十進法展開」の別解になったりするのでしょうか?
チラッと頭によぎった、ただの思いつきなのですが…。
◆出題者のコメント。
＠ＪＪＪＪＪＪさん、らぶりぃナナちゃんさん、昔とった杵柄さん 解答ありがとうございました。
コメントが遅れて申し訳ありません。
さて、私の解答は以下の通りです。
帰納法により以下の事実を証明します。
「各桁が1または2のみからなる数で、2nの倍数となる“n桁”の数Nが存在する」
n=1のとき N=2(1桁)が存在する。
n=kのとき 上の事実が成立すると仮定する。
各桁が1または2のみからなる2kで割り切れるk桁の整数Nが存在して
mod 2k+1 において
N≡0,2k
また、2*10k≡0
1*10k≡2k
(下n桁が0である整数は2nで割り切れる)
より、N+2*10k≡0,N+1*10k≡0のいずれかが成立し、上の事実が示せた。
各nに対して、各桁が1または2のみからなる数で、2nの倍数となる数Nが存在するのだから
n→∞なら(Nの個数)→∞は明らか。