『カップルができる確率』解答

◆東京都　かえる さんからの解答。

男性、女性ｎ人ずつの場合に少なくとも１組カップルができる確率をＰ（ｎ）とする。

ある特定の男女１人ずつにおいて１組ができる確率は、 １
ｎ2

これに、特定の男女１人ずつを選ぶ（nＣ1）2を乗じれば、
１
ｎ2		・（nＣ1）2

しかし、これでは２組以上できる確率をダブルカウントしている。
ある特定の男女２人ずつにおいて２組ができる確率は、 ２！
ｎ4

これに、特定の男女２人ずつを選ぶ（nＣ2）2を乗じれば、
２！
ｎ4		・（nＣ2）2

２！
ｎ4		・（nＣ2）2を引いて、
１
ｎ2		・（nＣ1）2− ２！
ｎ4		・（nＣ2）2

しかし、これでは３組以上できる確率をダブルカウントして引きすぎている。
よって、 ３！
ｎ6		・（nＣ3）2を加える。

しかし、これでは４組以上できる確率をダブルカウントして足しすぎている。
よって、 ４！
ｎ8		・（nＣ4）2を引く。

・・・と続けていけば、

Ｐ（ｎ）＝ n

k=1		 ｋ！
ｎ2k		・（nＣk）2・（−１）k-1

求める確率Ｐ（７）
＝ 7

k=1		 ｋ！
７2k		・（7Ｃk）2・（−１）k-1
＝ 66873949603
96889010407		・・・【答】

◆出題者のコメント。

かえるさん、解答ありがとうございます。
みごと正解です。
導入の仕方がとても分かり易く、まさに模範解答だと思います。

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