◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【補題１】
凸多角形を直線で２分割したとき、そのいずれもまた凸多角形である。
（証明略）
【補題２】
凸多角形を任意方向の直線で任意面積比に２分割可能である。
（証明略）
【補題３】
凸多角形を直線：Ｌで等面積に２分割したものを、さらに別の１直線で任意の面積比にそれぞれの凸多角形において分割可能である。
∵ 下図等分割線左側をＡ：Ｃに右側をＢ：Ｄに分けるとする。
補題１によりＡ＋ＣおよびＢ＋Ｄの図形は凸多角形である。
従って、補題２によりそれぞれ等分割線に直交方向の線でＡ：Ｃ，Ｂ：Ｄに分割可能である。
右側の凸多角形において、面積比をＡ：Ｃに維持しつつＬ上の分割線の一端ＸをＰからＱまで移動するとき、角αは９０度→９０度以下に単調連続に減少する。
同様に左側の凸多角形において、面積比をＢ：Ｄに維持しつつＬ上の分割線の一端ＸをＱからＰまで移動するとき、角βは９０度→９０度以下に単調連続に減少する。
よって必ずα＝βとなる点ＸがＰとＱの間にある。
即ち、一直線である。
【問題１】
Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｄとすれば４分割可能であることが分かる。
（ちなみに） Ａ＝Ｂ＝２ Ｃ＝Ｄ＝１ と Ａ＝Ｂ＝１ Ｃ＝Ｄ＝２ の２直線を引けば下図のように６等分割可能。
また４等分割したものを再等分割すれば８等分割も可能である。
【問題２】
６分割可能である。
（３直線が１点で交差する条件下）
Ａ＝１ Ｂ＝２ Ｃ＝２ Ｄ＝１を考え、その分割線をＭ、交点をＸとする。
また、Ａ＝２ Ｂ＝１ Ｃ＝１ Ｄ＝２の分割線をＭ’、交点をＸ’とする。
直線Ｌの方向を回転させたとき、ＸとＸ’はＬ上でＬの中点を中心に遥動する。
とくに１８０度回転したとき、Ｌの中点を中心として対称な位置にくる。
従って、Ｌの回転角０〜１８０度の間にＸとＸ’が一致する点がある。
下図参照
【問題３】
８分割不可能な場合がある。
（４直線が１点で交差する条件下）
問題２と同じように Ａ＝１ Ｂ＝３ Ｃ＝３ Ｄ＝１を考え、その分割線をＭ、交点をＸとする。
また、Ａ＝３ Ｂ＝１ Ｃ＝１ Ｄ＝３の分割線をＭ’、交点をＸ’とすることにより図形を１：２：１：１：２：１に６分割する点が１点だけある場合があることが上図から分かる。
８等分割するには、２：２の比の部分をさらに、１：１：１：１に分割しなければならないが、１点をとおる１直線で分割することは必ずしも可能ではない。
すなわち、８等分割ができない場合がある。
【できない例：三角形】
◆出題者のコメント。
Y.M.Ojisanさん、解答ありがとうございます。
この問題、分割方法を示しておかなかったのは4分割はともかく、6,8の分割になると
分割方法が数種類考えられるからであります。
さすがに、Y.M.Ojisanさんは気づかれたようです。
しかし、ひとつ疑問があります。
6分割の場合についてですが、【問題１】として二等分した後に
『Ａ＝Ｂ＝２ Ｃ＝Ｄ＝１ と Ａ＝Ｂ＝１ Ｃ＝Ｄ＝２ の２直線を引けば下図のように６等分割可能。』
とされています。
ここで、この２直線は交わることのない２直線なのでしょうか？
この直線が凸図形内で交わってしまえば、この証明は成立しないことになります。
さらに、6分割の場合は、一点で三直線が交わる場合を考えることで分割可能という結論になりますが
8分割の場合は一点で四直線が交わる場合、分割不可という結論になってしまいます。
もし仮に、【問題1】の手法でも分割できず、問題３の手法でも分割できない図形が存在したならば
８分割は不可能という結論になり、そのような図形が存在しないのならば８分割は可能になります。
どうにも
『また４等分割したものを再等分割すれば８等分割も可能である。 』
の部分が引っかかってしまいまして、本当に8分割できるのかという疑問が生じてしまったのです。
出題者が質問するのも変ですが、よろしければお願いします。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
【ｍ○ｍ】 Alpha殿。 ご指摘ごもっともです。
よって再検討し、以下に詳細証明を追加いたします。
なお、最も厳しいと思われる三角形の場合は任意の４等分割に対し再分割可能なことを確認しておりましたので、その方法についても前座として記載しました。
【三角形のクリティカルケース】
Ｌが辺に平行な場合は頂点上で交差するものの、可能である。
【一般三角形の場合の証明】
面積の比のみ問題としているので線形変形は任意に可能である。
従って、三角形を２等辺三角形ABOとしても一般性を失わず、下記の座標系で考える。
等分割線ＬをY軸上Ｔ：(0,1)を通る傾きｓの直線とする。
また、任意比の等比再分割線を(α,0)-(0,β)を通る直線とする。
対称性からsは０〜１の範囲で全てを代表できる。
s=0は上記クリティカルケースである。
Ｓｘを下図に示す各部分面積とするとき、
等分割線Ｌの条件は 2*(S3+S4)=S1+S2+S3+S4 で与えらる。
等比再分割線(α,0)-(0,β)の条件は 2*S4=S1 +S4で与えらる。
以上の方程式をβ、Ｕをパラメータとして解くと
s＝１−４Ｕ-1＋２Ｕ-2
α＝(β−４＋２β-1)／s
αβ＝(β2−４β＋２)／s （＝4*Ｓ1=4*Ｓ4）
である。
０＜s≦1 U≧1 より U＞２＋
である。
また ０≦α １≦βより β≧２＋ であり、
α'＝（１-２β-2）／s＞０であるからαはβに対して単調増加である。
ちなみに、最大β＝Ｕのときα＝Ｕである。
当然、面積Ｓ1＝Ｓ4＝αβ/4も単調増加である。
| すなわち、任意の面積比｛ | Ｓ1 Ｓ1＋Ｓ2 | ＝ | Ｓ4 Ｓ3＋Ｓ4 | ＝０〜１００％｝に対して |
〜Ｕ）は単調増加であり、異なる面積比の等比再分割線が交差することはない。８等分の場合は２５％ ５０％ ７５％の等比再分割線をひけばよく、クリティカルケースを含めこれらは３角形内部で交差することはない。
【一般凸図形の場合の証明】
下図参照。面積比Ｓが０％から１００％に変化するとき、等比再分割線αＭβの両端の点αと点βが凸図形の両側辺上を点ＯからＦにむけ弱単調に増加すれば、等比再分割線が交差することはないといえる。
この事実を証明する。
【補題１】
点αまたは点βがＳに対して弱単調に増加しない場合は
｜αＭ｜＞｜αβ｜ないし｜βＭ｜＞｜αβ｜である。
∵Ｓが増加してαもβも減少することはありえない。
いまＳの増加に対してβが弱増加し、αが減少するとする。
Ｓが凾r増加したときの等比再分割線の状態をαβ上の点Ｐを中心に刄ﾆ回転したとして表すとき
、
β側の面積の増加凾rβは
（｜Ｐβ｜2−｜ＰＭ｜2）刄ﾆ／2＋o（刄ﾆ2）である。
一方、α側の面積の増加凾rαは
（｜ＰM｜2−｜Ｐα｜2）刄ﾆ／2＋o（刄ﾆ2）である。
等分割比となるためには 凾rα＝凾rβ＋o（刄ﾆ2） でなければならず、
｜Ｐβ｜2＋｜Ｐα｜2＝２｜ＰＭ｜2 ＋o（刄ﾆ）である。
つまりo（刄ﾆ）で、｜ＰＭ｜＞｜Ｐβ｜である。
これに｜Ｐα｜＞｜Ｐα｜を加え刄ﾆ→０とすれば ｜αＭ｜＞｜αβ｜である。
【補題２】
｜αＭ｜≦｜αβ｜ かつ ｜βＭ｜≦｜αβ｜である。
∵ 点βにおいてＬに平行な直線Ｖを引く。
このとき図形が凸であることから、Ｆ側の図形ＦβＭか、Ｏ側の図形ＯβＭのいずれかの図形は直線Ｖより内側にある。
一般性を失わず今Ｏ側とする。
次にαとＯを通る直線Ｗを引き、Ｖとの交点をＧとする。
このとき 元の図形が凸なので、
三角形αＭＯの面積≦Ｓ／２≦四角形βＧＯＭ である。
従って｜αＭ｜≦｜αβ｜である。
αとβを入れ替えれば同様に｜βＭ｜≦｜αβ｜である。
【定理】
補題２より｜αＭ｜≦｜αβ｜ かつ ｜βＭ｜≦｜αβ｜である。
従って、補題１の逆により点αと点βはＳに対し弱単調増加である。
即ち、異なるＳに対する線分αβは図形内部で交差しない。
定理によりＳ＝２５％ ５０％ ７５％に対する３本の等比再分割線αβを引けば、これらは図形内部で交差しない。
よって任意のＬに対して、８等分割可能である。
【Ｐ．Ｓ．】
問題文のニュアンスから１点で交わる条件が抜けていると思い込んだため、追加部分の証明がおろそかになってしまいました。
Aｌpha殿、大変失礼致しました。