◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【解答】
２００６＝２×１７×５９ のみ
【証明】
Ｓ＝（１＋ｐ）（１＋ｑ）（１＋ｒ）であるから
条件は ｐ＋ｑ＋ｒ（１＋ｐ＋ｑ）＋ｐｑ＝１２３３ である。
２を除いて素数は奇数であるが、ｐ、ｑ、ｒが総て奇数であると、左辺は偶数であり矛盾する。
よって、一般性を失わずｒ＝２としてよい。
これを代入し、変形すると
（ｐ＋３）（ｑ＋３）＝１２４０＝２×２×２×５×３１
が得られる。
ｐ＋３、ｑ＋３は６以上の偶数であるが、そのような右辺の分解は次の２通りである。
（１）１０×１２４、（２）２０×６２
（１）：ｐ＝１２４−３＝１２１＝１１×１１ が素数ではない
（２）：ｐ＝２０−３＝１７ ｑ＝６２−３＝５９ いずれも素数である。
よって Ｎ＝２×１７×５９
【感想】
一見煩雑そうでありながら解く方法があって、年号までとは、とてもうまくできていますね。
◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
特に指示がないので、相異なる３つの素数p , q , rはｐ＜ｑ＜ｒであるものとする。
Ｎ＝ｐｑｒから、約数の総和Ｓは、
Ｓ＝(ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)と表せる。
ｐ，ｑ，ｒはすべて２でないとすると、ｐ，ｑ，ｒはすべて奇数になるので、
(ｐ＋１)，(ｑ＋１)，(ｒ＋１)はすべて偶数になる。
Ｓ−Ｎ＝(ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)−ｐｑｒ＝１２３４より、
(ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)＝１２３４＋ｐｑｒ
(ｐ＋１)，(ｑ＋１)，(ｒ＋１)はすべて偶数なので、
(ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)は偶数であり、１２３４も偶数なので、
ｐｑｒも偶数でなければいけない。
しかし、ｐ，ｑ，ｒはすべて２でないとしているので、これは矛盾。
従って３つの素数の内１つは２であり、
２は最小の素数なので、ｐ＝２であることがわかる。
よって、
(ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)＝１２３４＋ｐｑｒ
３(ｑ＋１)(ｒ＋１)＝１２３４＋２ｑｒ
整理して、ｑｒ＋３ｑ＋３ｒ＝１２３１
両辺に９を足して、
ｑｒ＋３ｑ＋３ｒ＋９＝１２４０
(ｑ＋３)(ｒ＋３)＝１２４０
２＜ｑから、５＜ｑ＋３
これとｑ＋３＜ｒ＋３を満たすような(ｑ＋３，ｒ＋３)の場合は、
(ｑ＋３，ｒ＋３)＝(８，１５５)，(１０，１２４)，(２０，６２)，(３１，４０) だけ。
よって、(ｑ，ｒ)＝(５，１５２)，(７，１２１)，(１７，５９)，(２８，３７)
この内、ｑ，ｒがともに素数となるのは、(ｑ，ｒ)＝(１７，５９)のみ。
よって、(ｐ，ｑ，ｒ)＝(２，１７，５９)
∴Ｎ＝ｐｑｒ＝２・１７・５９＝２００６
１つでいいのかなぁ…
それにしても今年の始めの方の今週の問題を見てもわかるように、２００６は結構奥深い数なんですね。
◆大阪府 電電虫 さんからの解答。
(1+p)(1+q)(1+r)-pqr=1234
(1+p)(1+q)(1+r)=pqr+1234
p,q,rともに奇数とすると
左辺＝偶数 右辺＝奇数 になるので等式を満たさない。
よって1つは2である。
p=2とすると
3(1+q)(1+r)=2qr+1234
3+3q+3r+qr=1234
(q+3)(r+3)=1240
1240=2*2*2*5*31
q,rは2でない素数なので奇数である。
(q+3,r+3)=(2*2,2*5*31),(2*5,2*2*31),(2*2*5,2*31)
の組み合わせのみである。
上記の時それぞれ
(q,r)=(1,307),(7,121),(17,59)
素数と言う条件を満たすものは以上より
(p,q,r)=(2,17,59)
つまりN=2006のみである。
【感想】
2006って出てきた瞬間に正解を確信しました。(^^)v
◆埼玉県の高校生 野猿 さんからの解答。
約数は
１，Ｐ，Ｑ，Ｒ，ＰＱ，ＱＲ，ＰＲ，ＰＱＲ
で、総和は
１＋Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＋ＰＱ＋ＱＲ＋ＰＲ＋ＰＱＲ
となります。
これからＮ＝ＰＱＲを引くと
１＋Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＋ＰＱ＋ＱＲ＋ＰＲ＝１２３４
Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＋ＰＱ＋ＱＲ＋ＰＲ＝１２３３
となります。
Ｐ，Ｑ，Ｒは素数なのですべて奇数か、２があるかのいずれかです。
すべて奇数ならば
奇＋奇＋奇＋奇＋奇＋奇＝偶
なので矛盾、
しかしＰ＝２と仮定すると
偶＋奇＋奇＋偶＋奇＋偶＝奇
さらにＱも２としても
偶＋偶＋奇＋偶＋偶＋偶＝奇
となり成り立ちます。
つまりはひとつは２として固定し、残る２つについて考えればよいことになります。
３Ｑ＋３Ｒ＋ＱＲ＝１２３１
の素数解、それがこの問題の解となります。
もしＱがわかれば
| Ｒ＝ | １２３１−３Ｑ ３＋Ｑ |
を調べればよいことになります。 |
Ｑに素数を代入していくと、
２×１７×５９＝２００６
ただ一つが解として現れます
【感想】
西暦の今年になっていることに驚きました。
Ｐ，Ｑ，Ｒに奇数を含めば拡張できそうです。
◆高知県 blue さんからの解答。
N = pqr より
S=(1+p)(1+q)(1+r)
S-N=(1+p)(1+q)(1+r)-pqr=1234
右辺は i)(偶数)-(偶数) または ii)(奇数)-(奇数)でなければならないが、ii)はありえない。
よってi)のとき
p=2として一般性を失わない。
3(1+q)(1+r)-2qr=1234
3(1+q+r+qr)-2qr=1234
3q+3r+qr=1231
q(r+3)+3r=1231
| q= | 1231-3r r+3 | = | -3(r+3)+1240 r+3 | = | 1240 r+3 | -3 |
【感想】
なるほど、2006ですか(^^。
とてもきれいでうまくできた数式でした。