◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
答え ４面体
【条件１を満たすものは４面体のみである。】
∵
（１）断面が多角形であるから、平面で区切られた多面体である。
（２）断面が３角形か４角形で単連結であるから、凸多面体である。
（３）辺の近傍の断面を考えると１つの頂点に集まる平面は３面に限る。（下図）
（４）下図のように頂点Ａ付近を若干面ＡＢＤ側にずれて通る断面ＰＱＲＳを考える。
このときＱＲは直線で無ければならない。
またＱＲが掃引してできる面は平面でなければならないから、少なくともＱ，Ｒの付近で折れ線ＢＣ，ＣＤは１平面上に存在する。
これを少しずつ広げて行けば結局、ＢＣ，ＣＤは直線でかつ１平面上に存在する。
同様にＢＤも同じ平面上の直線である。
即ち、４面体である。
【４面体は条件２を満たす】
∵ ４面体の頂点は４個である。
従って影が五角形以上になることはない。
【Ｐ．Ｓ．】
問題としては、条件の１だけでも良いように思います。
２個別の問題とすると、条件２は凸体の条件がないと無限に解があります。
因みに凸条件をつけると、条件２単独でも４面体のみに限られそうです。
【出題者のコメント】
解答ありがとうございます。
条件１と２は別々な条件でして、「両方同時に成立する場合を考えてください。」というつもりではなく、それぞれ別個に条件１を満たす場合は何々、条件２を満たす場合は何々としていただければ良かったんです。
あと、条件２に凸図形という条件が抜けてました。
（ということで凸を追加しました。）>
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【２．射影】 答え ４面体
（１）凸体であるから 曲面は許容されず 平面で囲まれた多面体である。
（２）任意の辺方向の射影は三角形である。
∵ もし辺方向の射影が四角形以上であるすると、辺を含む面内で若干射影方向を回転させることにより、その辺が射影の辺として現れ、射影が五角形以上になるからである。
（３）凸体の一辺をＡＢとすると、（２）より凸体はＡＢを辺に含む無限三角柱（下図黄色）の内部に含まれ、かつ凸体の一部が無限三角柱表面の長手方向の何処かに存在しなければならない。
同様のことが、ＡＢに対する無限三角柱表面でＡＢを含まない表面上の辺ＣＤについても言え、辺ＣＤに対応する無限三角柱（空色）を考えることができる。
これらの積図形は４面体：Ｖである。
特に、ＡＢに対する無限三角柱表面であって、ＡＢを含まない表面上では、Ｖが存在するのは辺ＣＤをそのまま延ばした線分上のみであり、結局ＣＤはＶの辺である。
同様にＡＢもＶの辺である。
問題の立体は凸体であるからＡＢ，ＣＤ上の点を結ぶ線分は全て凸体の内部である。
よって、凸体＝Ｖ＝４面体である。
