『じゃんけんの回数』

『じゃんけんの回数』解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題１】

３×３＝９
９通りの場合の数がある。
あいこが　３通り。

したがって求める確率は、
９−３
―――――
９		 ＝ ２
―――
３

答え　 ２
―――
３

【問題２】

１回で決まらない確率は １
―――
３

１
―――
３		 × ２
―――
３		 ＝ ２
―――
９

答え　 ２
―――
９

【問題３】

問題１、問題２より、Ｍ回目で決まる確率は、

２
――――
３M

答え　 ２
――――
３M

【問題４】

期待値をK(n)とする。

K(n)= 2*A(n)
――――――
3n-1
A(n)=SUM(k*3n-k)

A(1)=1

A(n+1)=3*A(n)+n+1

1,5,18,58,179,543,.........

K(1000)　はプログラム（１０００桁モード）を組んで求めました。

K(1000)=1.499999999...=1.5

答え　１．５回。

スッキリとした意味づけがあるような気がするのですが。

十進ベーシックでプログラムを組んでシミュレーションしました。

１千万回　1.5004436999999999。

RANDOMIZE
 LET  Z=0
 FOR I=1 TO 10000000
 10    LET  Z=Z+1
       LET  X=INT(RND*3)+1
       LET  Y=INT(RND*3)+1
       IF X=Y THEN
         GOTO 10
       END IF
 NEXT I
 LET  Z=Z/10000000
 PRINT Z
 END
　
 REM ２人でジャンケン
 LET  S=0
 INPUT PROMPT  "回数Ｎ":N
 FOR I=N TO 1 STEP -1
    LET  S=S+I*3^(N-I)
 NEXT I
 PRINT 2*S/((3^N)-1)
 END

◆静岡県　ヨッシー さんからの解答。

【問題４】

求める期待値をＳとすると

Ｓ
―――
２		 ＝ 1
――
3		 + 2
――
9		 + 3
―――
27		 + 4
―――
81		 +・・・(1)

両辺３で割って、

Ｓ
―――
６		 ＝ 1
――
9		 + 2
―――
27		 + 3
―――
81		 + 4
―――
243		 +・・・(2)

(1)-(2)より

Ｓ
―――
３		 ＝ 1
――
3		 + 1
――
9		 + 1
―――
27		 + 1
―――
81		 +・・・(3)

両辺３倍して、

Ｓ＝1+ 1
――
3		 + 1
――
9		 + 1
―――
27		 + 1
―――
81		 +・・・(4)

(4)-(3)より

２Ｓ
―――
３		 ＝１

よって、Ｓ＝ ３
―――
２		 ・・・答え

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

【問題５】

プログラムを組んでシミュレーションしました。

試行回数　５千万回。

2.2500491399999998

１．５という数字が関係しているようです。

１．５×１．５＝２．２５（回）

問題４に還元しようとしたのですが、、。
とりあえず確かめました。

  REM ３人でジャンケン
  RANDOMIZE
  LET  Z=0
  LET  N=50000000
  FOR I=1 TO N
  10    LET  Z=Z+1
        LET  X1=INT(RND*3)+1
        LET  X2=INT(RND*3)+1
        LET  X3=INT(RND*3)+1
        IF (X1=X2 AND X2=X3) OR (X1<>X2 AND X1<>X3 AND X2<>X3) THEN         
           GOTO 10
        END IF
        GOSUB 20
        IF F=1 THEN
           GOSUB 30
        END IF
     NEXT I
     LET  Z=Z/N
     PRINT Z
     STOP
  20 REM 判定（１人り勝ち）
     REM グ−．．１　チョキ．．２　パー．．３
     LET  F=0
     IF X1=1 AND X2=2 AND X3=2 THEN
        RETURN
     END IF
     IF X1=2 AND X2=3 AND X3=3 THEN
        RETURN
     END IF
     IF X1=3 AND X2=1 AND X3=1 THEN
        RETURN
     END IF
     IF X2=1 AND X3=2 AND X1=2 THEN
        RETURN
     END IF
     IF X2=2 AND X3=3 AND X1=3 THEN
        RETURN
     END IF
     IF X2=3 AND X3=1 AND X1=1 THEN
        RETURN
     END IF
     IF X3=1 AND X1=2 AND X2=2 THEN
        RETURN
     END IF
     IF X3=2 AND X1=3 AND X2=3 THEN
        RETURN
     END IF
     IF X3=3 AND X1=1 AND X2=1 THEN
        RETURN
     END IF
     LET  F=1
     RETURN
  30 REM ２人でジャンケン
  40 LET  Z=Z+1
     LET  X1=INT(RND*3)+1
     LET  X2=INT(RND*3)+1
     IF X1=X2 THEN
        GOTO 40
     END IF
     RETURN 
     END

【コメント】

この解答は、３人で一発で終わる場合だけではなくて、
３人→２人→１人と一人ずつ減っていく場合も考えているのですね。

◆神奈川県　いわし さんからの解答。

【問題４】

a, bの2人がじゃんけんするとき、
m回目で勝負がつく確率をpmとします。

m回目で勝負がつくのは、bが(m−1)回aと同じ手を出し、m回目で違う手を出したときですから、

です。

n人でじゃんけんをして、勝負がつくまでの
平均回数をEnとします。すると

E2 = ∞
Σ
m=1		 mpm です。

sk = k
Σ
m=1		 mpm= k
Σ
m=1		 2m
――
3m
とおくと、

sk=(1-( 1
―
3		)k)/(1− 1
―
3		)− k
――
3k
= 3
―
2		(1-( 1
―
3		)k)- k
――
3k
です。(下式参照)

これより

E2= lim
k→∞		 sk = 3
―
2		を得ます。

【問題４】(別解)

1回目で勝負がつく確率は 2/3 で、このとき勝負がつくまでの回数は1です。

1回目で勝負がつかない確率は 1/3で、このとき勝負がつくまでの平均回数は
(1＋E2)です。

∴E2 = 2
―
3		×1＋ 1
―
3		(1＋E2)

∴E2 = 3
―
2

【問題５〜７】

n人で1回じゃんけんをして、k人が勝ち残る確率を
nAkと書くことにします。(1≦k≦n)

明らかに
n
Σ
k=1		 nAk=1 です。

n人で1回じゃんけんをするとき、
a1〜ak のk人 (k＜n) が勝ち残るのは、
a2〜ak がa1 と同じ手を出し、それ以外の人が a1 に負ける手を出したときですから、その確率は

で、
a1〜ak の選び方が nCk 通りありますから、

です。さらに

ですから

です。

[問題4]の別解と同様に考えると、n≧3のとき

En = nA1×1＋nA2(1＋E2)＋…＋nAn−1(1＋En−1)＋nAn(1＋En)
∴(1−nAn) En = 1＋ n−1
Σ
k=2		 nAk Ek

∴En = (3n−1＋ n−1
Σ
k=2		 nＣkEk)/(2n−2)

これとE2 = 3/2より、En が帰納的に定まります。

例えば、

E3=(32＋3 E2)/(23−2) = 9/4 = 2.25

E4=(33＋6 E2＋4 E3)/(24−2) = 45/14 = 3.21…
En のグラフを描いてみました。

7〜8人で10回くらいというのは、だいたいこんなものかな、という感じです。

◆出題者の ＠ＪＪＪＪＪＪ さんからのコメント。

みなさん、解答有難うございます。
いわし さんの示されたように指数関数的に回数が増加するのですね。
昔、１０人位でじゃんけんをして草野球の順番を決めようとしてもなかなか決まらなかったことがあります。

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