◆東京都 かえる さんからの解答
【問題１】
ＢＥと円の交点でＢ以外のものを点Ｒとする。
点Ｐと点Ｒは点Ｃに関して点対称ゆえＰＲは直径。
∠ＰＢＲは半円に対する円周角なので９０°。
| ∠ＢＰＱ＝ | １ ２ | ∠ＢＣＥ（∵円周角定理）＝４５°。 |
よって、△ＢＰＱは∠ＰＢＱ＝９０°の直角２等辺３角形。
ゆえ、ＢＰ＝ＢＱ
【証明了】
【問題２】
△ＡＢＧ∽△ＢＰＧゆえ、ＢＰ：ＰＧ＝１：２。
また、対称性から、ＢＰ＝ＧＲ
より、
| △ＰＱＧ＝ | １ ２ | ＰＧ・ＢＰ |
| ＝ＢＰ2 |
| ＝( | ＢＧ | ) | 2 |
| ＝( | ２０ | ) | 2 |
| ＝８０・・・【答】 |
◆岩手県 utu さんからの解答。
【問題１】
∠ＢＰＧは直径ＢＧに対する円周角であるから、直角である。
直線ＡＧと直線ＢＦは明らかに平行であり、∠ＢＰＧが直角なので、∠ＰＢＱも直角である。
∠ＢＰＥと∠ＢＧＥは、ともに弧ＢＥに対する円周角なので大きさが一致する。
したがって、∠ＢＰＥ（∠ＢＰＱ）＝４５゜
すなわち、△ＢＰＱは直角二等辺三角形である。
したがって、ＢＰ＝ＢＱ
（証明終）
【問題２】
辺ＰＧを底辺と考えると、高さが一致するので、
△ＰＱＧ＝△ＰＢＧである。
△ＡＢＧと△ＢＰＧは、∠Ｇを共有する直角三角形なので、相似である。
その相似比は、ＡＧ：ＧＢ＝：２
面積比は、△ＡＢＧ：△ＢＰＧ＝５：４
円の半径が１０なので、△ＡＢＧ＝１００
したがって、△ＰＱＧ＝８０
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あれ？【問題１】の結果は使わないの？