◆東京都 BossF さんからの解答。
1辺２の正ｎ角形を考える。
| その中心から頂点までの距離はcosec( | π n | ) |
まず外接円の個数G(r)は
| (1) 0＜r＜-1+ | 2 | の時 G(r)=2 |
| (2) -1+ | cosec( | π n | )≦r＜-1+ | cosec( | π n+1 | ) (3≦n) |
つぎに、内接円の個数N(r)は
(1) 0＜r≦1 のとき N(r)=0
(2)1＜r≦2 のとき N(r)=1
| (3) 2＜r＜1+ | 2 | の時 N(r)=2 |
| (4) 1+ | cosec( | π n | )≦r＜1+ | cosec( | π n+1 | ) (3≦n) |
f(r)=G(r)+N(r)であるから、上の結果より･････
うーん、arcsin使ってもきれいに表せないし困ったな
| n角形のことを考えない、r＜1+ | 2 |
◆千葉県 わたけん さんからの解答。
内側で接する円の数をfi(r)、外側で接する円の数をfo(r)とする。
内側について
0＜r＜1、fi(r)=0
1≦r＜2、fi(r)=1 は明らか
次のような二等辺三角形ABCを考える
AB=AC=r-1、BC=2
| すると 角BAC=2asin( | 1 r-1 |
)である |
従って三角形ABCをAを中心として花びら状に並べると
[π/asin(1/(r-1))]個並べることができる
（[A]はAを超えない最大の整数）
頂点B,Cを中心とした単位円は頂点Aを中心とする半径rの円に接するので
r≧2、fi(r)=[π/asin(1/(r-1))]
上のように考えると
fo(r)=[π/asin(1/(r+1))]なのは明らかである
f(r)=fi(r)+fo(r)から
f(r)=
[π/asin(1/(r+1))] (0≦r＜1)
[π/asin(1/(r+1))]+1 (1≦r＜2)
[π/asin(1/(r+1))]+[π/asin(1/(r-1))] (r≧2)