◆東京都 哲(サトシ) さんからの解答。
「n≧3 のとき、自然数 x, y, z が存在して、
xn+2*yn=4*zn ...(1) をみたす」...(*) と仮定すると、
x が奇数のとき、xn が奇数となり、(1) が成立しないから、
自然数 x' が存在して、x=2*x' と書ける。
このとき、
(1) ⇔ 2n*x'n+2*yn=4*zn
⇔ 2n-1*x'n+yn=2*zn ...(2) 。
同様にして、自然数 y' が存在して、y=2*y' と書ける。
このとき、
(2) ⇔ 2n-1*x'n+2n*y'n=2*zn
⇔ 2n-2*x'n+2n-1*y'n=zn ...(3) 。
同様にして、自然数 z' が存在して、z=2*z' と書ける。
このとき、
(3) ⇔ 2n-2*x'n+2n-1*y'n=2n*z'n
⇔ x'n+2*y'n=4*z'n 。
したがって、
「(*) ⇒「n≧3 のとき、自然数 x', y', z' が存在して、
x=2*x' 、y=2*y' 、z=2*z' と書けて、
x'n+2*y'n=4*z'n をみたす」」...(!)
ところで、非負整数 n_0, n_1,, ... を用いて、
自然数 x=2n_0*3n_1*... と一意的に書ける。
(素因数分解の一意性)
(*) が真のとき、(!) より、自然数 x' が存在して、x=2*x' と書ける。
このとき自然数 x'=2n_0-1*3n_1*... が存在するので、
n_0-1≧0 である。
ここで (!) より、自然数 x'' が存在して、x'=2*x'' と書ける、
すなわち、x=22*x'' と書ける。
このとき自然数 x''=2n_0-2*3n_1*... が存在するので、
n_0-2≧0 である。
これを繰り返せば、自然数 x_0 が存在して、x=2n_0+1*x_0 と書ける。
このとき自然数 x_0=2n_0-(n_0+1)*3n_1*... が存在するので、
n_0-(n_0+1)≧0 、すなわち -1≧0 である。
これは矛盾である。
したがって、(*) は偽、すなわち、題意を満たす自然数 x, y, z は存在しない。