◆東京都の高校生 もやし さんからの解答。
他にもｎの値はあるかもしれませんが、とりあえず１つは出せました。
ｎ3＋３ｎ2＋２ｎ＋７＝(ｎ＋１)3＋６−ｎ
より、６−ｎ＝０のときに与式は立方数となる。
∴ｎ＝６
他に値があるのかないのか、どちらも証明できてませんが…
◆大阪府 電電虫 さんからの解答。
| n3+3n2+2n+7=n3+3(n+ | 1 3 |
)2+ | 20 3 |
＞n3 |
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
N3+3N2+2N+7=M3 とする。
M3-N3=3N2+2N+7
(M-N)(M2+MN+N2)=3N2+2N+7
M＞N，3N2+2N+7≧M2+MN+N2
M2+NM-2N2-2N-7≦0
| N＜M≦ | -N+sqrt(9N2+8N+28) 2 |
◆東京都の高校生 shima さんからの解答。
ｎは自然数なので、
ｎ3＋３ｎ2＋２ｎ＋７≧１3＋３×１2＋２×１＋７＝１３
これが立方数になるので、
２3＝８＜１３＜３3＝２７より、
ｎ3＋３ｎ2＋２ｎ＋７＝Ａ3(Ａは３以上の整数)とおくと、
ｎ3＋３ｎ2＋２ｎ＋７＝Ａ3
⇔(ｎ＋１)3−ｎ＋６＝Ａ3
⇔６−ｎ＝Ａ3−(ｎ＋１)3
⇔６−ｎ＝(Ａ−(ｎ＋１))(Ａ2＋Ａ(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)2)
ここで、
Ａ2＋Ａ(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)2≧３2＋３×(１＋１)＋(１＋１)2＝１７≧０
Ａ3＝ｎ3＋３ｎ2＋２ｎ＋７＞ｎ3より、
Ａ＞ｎ⇔Ａ−(ｎ＋１)≧０より、
(Ａ−(ｎ＋１))(Ａ2＋Ａ(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)2)≧０
よって、６−ｎ≧０
また、ｎ≧１より、６−ｎ≦５であるから０≦６−ｎ≦５であるが
Ａ−(ｎ＋１)＞０とすると、Ａ−(ｎ＋１)≧１であるから
(Ａ−(ｎ＋１))(Ａ2＋Ａ(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)2)≧１×１７＝１７
となり０≦６−ｎ≦５に矛盾する。
よって、Ａ−(ｎ＋１)＝０
つまり、６−ｎ＝(Ａ−(ｎ＋１))(Ａ2＋Ａ(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)2)＝０
よって、ｎ＝６
このとき、６3＋３×６2＋２×６＋７＝３４３＝７3となり条件を満たすので、
求める答えはｎ＝６ □
【コメント】
(ｎの二次式)＝(平方数)となる自然数ｎを求めるのと同じようにやりました。
２次式のときは移項して(定数)＝(１次式)2−(１次式)2にして因数分解をするのが常套手段です
が、３次式のときは左辺が定数にならないことがあります。
この場合がそうなのですが左辺が１次式になるようにしたところうまく条件を絞れたので案外すんなりとできました。