とする。
【問題１】
３角形の内角の和より x+y=43
正弦定理より
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
XY座標で、原点Ｏを通るｘ軸となす角度θ1、θ2（0＜θ1＜θ2）の直線Ｌ1、Ｌ2 と
点Ａ（1,0）を通る角度π-φ1、π-φ2（0＜φ1＜φ2）の直線Ｍ1、Ｍ2を引く。
θ1+φ1＜π、θ2+φ2＜π、φ2-φ1= χとする。
直線Ｌ1とＭ1の交点Ｐの座標は
| P ( | tanφ1 tanθ1+ tanφ1 |
, | tanθ1tanφ1 tanθ1+ tanφ1 |
) |
直線Ｌ2とＭ2の交点Bの座標は
| B ( | tanφ2 tanθ2+ tanφ2 |
, | tanθ2tanφ2 tanθ2+ tanφ2 |
) |
△ＯＡＢを題意の三角形、点Ｐを内部の点にとると、χが求める角度。
（１）を例に対応を示すと
θ1＝77度
θ2＝77＋17＝94度
φ1＝26度
ζ＝17度
χ＝？度
線分ＰＢの角度をηとする。
tanη
| ＝ | tanθ2tanφ2 / (tanθ2+ tanφ2) - tanθ1tanφ1 / (tanθ1+ tanφ1) tanφ2 / (tanθ2+ tanφ2) - tanφ1 / (tanθ1+ tanφ1) |
| ＝ | (tanθ1+ tanφ1)tanθ2tanφ2 - (tanθ2+ tanφ2)tanθ1tanφ1 tanθ1tanφ2 - tanθ2tanφ1 |
線分ＰＢと直線Ｌ2のなす角ζは ζ = η-θ2
| tanη = tan(ζ+θ2) = | tanζ + tanθ2 1 - tanζtanθ2 |
両式の右辺を等しいとおいてφ2について解いて
| χ= arctan( | T S | ) - φ | 1 |
ここで
S=tanθ1(tanθ2+tanζ)-{tanθ1tanθ2+(tanθ2-tanθ1)tanφ1}(1-tanθ2tanζ)
T=tanθ2tanφ1(-tanθ1+tanθ2+tanζ+tanθ1tanθ2tanζ)
【コメント】
一般式を導きました。
（１）〜（４）の場合に解が簡単な値になるかどうかはわかりません。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】 １３度
【問題２】 ７３度
【問題３】 ７３度
【問題４】 ３４度
問題１〜３は 最下段の３図のように補助線（赤線）を入れることで証明できましたが、問題４はうまく行かず、正弦定理で解きました。
以下証明は、正弦定理を用いた解答に統一しています。なお、角度の単位は度です。
【証明】
とする。
【問題１】
３角形の内角の和より x+y=43
正弦定理より
| A sin(y) |
＝ | B sin(x) |
, | C sin(2*13) |
＝ | A sin(90-13) |
, | C sin(17) |
＝ | B sin(17) |
| sin(x) sin(y) |
＝ | sin(2*13) cos(13) |
＝ | 2sin(13)cos(13) cos(13) |
＝ | sin(13) 0.5 |
＝ | sin(13) sin(30) |
| A sin(y) |
＝ | B sin(x) |
, | C sin(2*17) |
＝ | A sin(13) |
, | C sin(17) |
＝ | B sin(13) |
| sin(x) sin(y) |
＝ | sin(2*17)sin(13) sin(13)sin(17) |
＝2cos(17)＝ | sin(73) sin(30) |
| A sin(y) |
＝ | B sin(x) |
, | C sin(2*17) |
＝ | A sin(17) |
, | C sin(13) |
＝ | B sin(30) |
| sin(x) sin(y) |
＝ | sin(2*17)sin(30) sin(17)sin(13) |
＝ | cos(17) sin(13) | ＝ | sin(73) sin(13) |
| A sin(y) |
＝ | B sin(x) |
, | C sin(3*13) |
＝ | A sin(47) |
, | C sin(13) |
＝ | B sin(30) |
| C cos(3θ) |
＝ | A sin(30+θ) |
, | C sin(30-θ) | ＝2B |
| sin(x) sin(y) |
＝ | cos(3θ) 2sin(30+θ)sin(30-θ) |
＝2*cos(θ)＝ | sin(2θ) sin(θ) |
【ＰＳ】
ヒントと違う方向になりましたが、こういう方法もあるということで。
【幾何の場合】
詳細略
＜問題１幾何解＞
赤○：１３度、緑○：７７度、黄色○：１７度、青四角：９０度
＜問題２幾何解＞
赤○：１３度、桃△：３０度、黄色○：１７度、青六角：６０度
＜問題３幾何解＞
赤○：１３度、桃△：３０度、黄色○：１７度、緑○：７７度
