◆東京都 かえる さんからの解答。
| ｎが奇数のとき、ａn＝ | (ｎ＋１)2 ４ |
| ｎが偶数のとき、ａn＝ | ｎ(ｎ＋２) ４ |
を帰納法で示す。
(１)ｋ＝１，２のとき
ａ1＝１，ａ2＝２より(＊)が成立。
(２)ｋ＝２ｍ−１，２ｍ(ｍは自然数)で(＊)が成立すると仮定すると、
ａ2m-1＝ｍ2，ａ2m＝ｍ(ｍ＋１)
ｎが奇数のとき、ａn，ａn+1，ａn+2は等比数列ゆえ、
| ａ2m+1＝ | ａ2m2 ａ2m-1 |
＝(ｍ＋１)2 |
ｎが偶数のとき、ａn，ａn+1，ａn+2は等差数列ゆえ、
ａ2(m+1)＝２ａ2m+1−ａ2m＝(ｍ＋１)(ｍ＋２)
より、ｋ＝２ｍ＋１，２(ｍ＋１)のときも(＊)は成立。
(１)，(２)より、数学的帰納法より(＊)が成立することが示された。