『高校生からの挑戦状Part32』解答

◆東京都　かえる さんからの解答。

点Ｅを通りＬと平行な直線をＬ’とする。
直線Ｌ’とＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＰＤの交点をそれぞれＡ’（＝Ｅ）、Ｂ’、Ｃ’、Ｄ’とする。

直線Ｌと直線Ｌ’が平行なので、
ＥＣ’：Ｃ’Ｂ’：Ｂ’Ｄ’＝ＡＣ：ＣＢ：ＢＤ＝４：２：６＝２：１：３

△ＥＢ’Ｆと直線ＰＧＣ’についてメネラウスの定理より、
ＥＣ’
Ｃ’Ｂ’		 ・Ｂ’Ｐ
ＰＦ		・ ＦＧ
ＧＥ		 ＝１
⇔
２
１		 ・Ｂ’Ｐ
ＰＦ		・ １
３		 ＝１
⇔
Ｂ’Ｐ
ＰＦ		＝ ３
２
⇔
ＰＦ：ＦＢ’＝２：１

ここで、ＥＢ’：Ｂ’Ｄ’＝（２＋１）：３＝１：１に注意すれば、
点Ｆは△ＰＥＤ’の重心

よって、ＥＦ：ＦＨ＝２：１
⇔
ＦＨ＝ ＥＦ
２		＝ ３＋１
２		 ＝２・・・【答】


（感想）直線Ｌと平行な補助線を引くことに思いがいたらず、なかなかできませんでした・・・。
平行な補助線さえ引ければ、あとは、ベクトルでもメネラウスでも何とでもなると思いますが。良問だと思います。

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