『高校生からの挑戦状Part22』

『高校生からの挑戦状Part22』解答

◆東京都　かえるさんからの解答。

まず、点Ａを通る球の接線のｘｙ平面との交点Ｐ（Ｘ，Ｙ，０）の軌跡を求める。
点Ａを通る球の接線の接点をＱ、球の中心を点Ｃ、球の半径をｒ（＝１）と書く。

ｃｏｓ∠ＣＡＱ
＝ √（ＡＣ²－ｒ²）
ＡＣ

＝ √（ｔ²＋３）
√（ｔ²＋４）

┃ →
ＡＰ・ →
ＡＣ ┃²＝┃ →
ＡＰ ┃²┃ →
ＡＣ ┃²・ｃｏｓ²∠ＣＡＱ
⇔
（Ｘ＋５ｔ
３ )² ／１６（ｔ²＋３）
９＋Ｙ² ／１６
３＝１

よって軌跡は、
楕円（ｘ＋５ｔ
３ )² ／１６（ｔ²＋３）
９＋ｙ² ／１６
３＝１

射影した図形は、この楕円の周及び内部。

ｔが全実数を動くとき、射影した図形が通過する領域は、

－４
≦ｙ≦ ４
・・・【答】