◆山梨県 Footmark さんからの解答。
物理屋なので、物理っぽい解答ですがあしからず。
２質点の重心は互いの距離を質量の逆比に内分する点にある。
（元々重心位置で１つになっていたと考えると、運動量保存の法則より明らか。）
【問題１】
３質点とも１００ｇなので、任意の２質点はその中点にある２００ｇの１質点と置き換えられる。
故に、１００ｇと２００ｇの２質点の重心を求める問題になる。
これも互いの距離を２：１に内分する点にある３００ｇの１質点と置き換えられる。
結局、三角形ABCの任意の１頂点から対辺の中点までの距離を２：１に内分する点である。
まさしく、三角形ABCの数学的重心である。
【問題２】
線密度が均一なので、各辺の重心は各辺の中点にある筈である。
それ故、３つの辺 BC , CA , AB の各中点 A’ , B’ , C’ にある３質点の重心の問題となる。
また、３つの辺 BC , CA , AB のそれぞれの長さをａ,ｂ,ｃとすると、
その質量比はａ：ｂ：ｃである。
２つの三角形ABCとA’B’C’は相似なので、三角形 A’B’C’で考えると、質量が対辺の長さ の比になる３質点が３頂点にあることになる。
冒頭で述べたように、任意の２質点の重心は互いの距離を質量の逆比に内分する点にある。
ところで、２質点の質量比は対辺の長さの比なので、結局重心は三角形 A’B’C’の内心である。
何故なら、三角形の各角の２等分線は角を挟む２辺の比に対辺を内分する。
つまり求める重心は与えられた三角形ABCの各辺の中点を結んだ三角形の内心である。
【問題３】
面密度が均一なので、三角形ABCの面積を２等分する直線上に重心はある筈である。
３頂点のそれぞれからそのような直線を引くには、明らかに対辺の中点と線は結ばねばならない。
これは三角形ABCの数学的重心の定義そのものである。