◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問Ｐ】
ちょうどｎ錠飲む方法をＡ(ｎ)通りとすると、
Ａ(ｎ)は1, 2, 4, 7, 13・・・というトリボナッチ数列になります。
つまり、ちょうどｎ錠を飲むには、
ｎ−３錠から３錠飲む
ｎ−２錠から２錠飲む
ｎ−１錠から１錠飲む
場合があるので、
Ａ(ｎ)＝Ａ(ｎ−３)＋Ａ(ｎ−２)＋Ａ(ｎ−１)
という関係があります（ただし、ｎ≧４）
ただし、１５錠以上になる場合は、
１２錠から３錠飲む
１３錠から２錠か３錠飲む
１４錠から１〜３錠飲む
場合があるので、この問の答えは、
Ａ(12)＋２×Ａ(13)＋３×Ａ(14) であり、
Ａ(12)＝927, Ａ(13)＝1705, Ａ(14)＝3136
より、
答え：13745
【問Ｑ】
１５日間ではたかだか５錠しか飲まない
１錠も飲まない飲み方：１通り
１錠飲む飲み方：１５通り
２錠飲む飲み方：13Ｃ2＝78 通り
３錠飲む飲み方：11Ｃ3＝165 通り
４錠飲む飲み方：9Ｃ4＝126 通り
５錠飲む飲み方：7Ｃ5＝21 通り
合計：４０６通り・・・答え
考え方：
飲んだ日と飲んだ日の間には最低２日空けないといけない。
例えば、３錠飲む場合では、１５日からあらかじめ
２×２＝４日を取り除き、１１日から３日選ぶ組み合わせをつくり、選んだ飲む日と飲む日の間に２日ずつ挿入していけばよい。
一般にｎ錠飲む場合（１≦ｎ≦５）
15-2(n-1)Ｃn で求められる。
【問Ｒ１】
○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○
上のように、１５錠の錠剤と１４本の仕切りがある。
仕切りを取れば、その両端の錠剤は同時に飲むとする。
例えば、
○|○ ○|○ ○ ○|○ ○ ○ ○|○ ○ ○ ○ ○
のように、仕切りを取れば、
１，２，３，４，５の順に飲むと考える。
それぞれの仕切りは、取るか取らないかのどちらかなので、
２14＝１６３８４（通り）
【問Ｒ２】
１５個の錠剤を７個の部屋に入れる（ただし、一部屋最低１個は入れる）やり方を考えればよい。
１５錠のうち７錠をあらかじめ１錠ずつ７個の部屋に入れておき、残りの８錠の錠剤を７つの部屋に分ける重複組み合わせになる。
つまり、 7Ｈ8 である。
公式により、7+8-1Ｃ8 としてもいいが、好かないのでもう少し解説を加える(^^;
○○○○○○○○｜｜｜｜｜｜
この部屋の分け方は、上のような、８錠の錠剤と６本の仕切りを、並べる並べ方と一致する。
つまり、仕切りにより区切られた７つの区間（両端も含む）の個数に、最初あらかじめ入れておいた１個を加えた数が、飲む錠数となる。
例えば、
○○｜｜○○｜○｜｜○○○｜
のように並べると、仕切りで区切られた７つの部分の個数は、
２，０，２，１，０，３，０
であり、それぞれ１を加えて、
３，１，３，２，１，４，１
の順に飲むことを表している。
並べ方は
| １４！ ８！６！ |
＝14Ｃ8＝３００３（通り） |
◆出題者のコメント。
コメントが遅くなってしまい、申し訳ありません。
全問とも正解です。
しかも、とても分かり易い解法だと思います。
１年以上経っても、別な解法も寄せられなかったので私なりの解法を示します。
問Ｐはヨッシーさんの解法と殆ど一緒なので省略します。
【問Ｑ】
ある当日までの飲み方は、
[当日に飲む場合の当日までの飲み方]と[当日に飲まない場合の当日までの飲み方]を合わせたものです。
そこで、４日目以降の任意な日で考えます。
錠剤Ｑは多くとも３日間で１錠しか飲めませんから、その日に飲む場合は１日前も２日前も飲んでいないことになります。
ですから、その日に飲む場合のその日までのすべての飲み方は、３日前までのすべての飲み方の後に[飲まない日],[飲まない日],[飲んだ日]の３日分が続くことになります。
結局、[その日に飲む場合のその日までの飲み方]と[３日前までの飲み方]は１対１に存在し、どちらの飲み方の数も等しくなります。
同様に、その日に飲まない場合のその日までのすべての飲み方は、１日前までのすべての飲み方の後に[飲まない日]の１日分が続くことになります。
結局、[その日に飲まない場合のその日までの飲み方]と[１日前までの飲み方]は１対１に存在し、どちらの飲み方の数も等しくなります。
よって、ｎ日間(ｎ日まで)の飲み方の数Ｆ(ｎ)は、
Ｆ(ｎ) ＝ Ｆ(ｎー１) ＋ Ｆ(ｎー３)
で、与えられる漸化式(変形フィボナッチ数列)になります。
また、飲まない日を×,飲んだ日を○で表すと、Ｆ(１),Ｆ(２),Ｆ(３)は以下になります。
Ｆ(１)＝２ ： (×),(○)
Ｆ(２)＝３ ： (××),(×○),(○×)
Ｆ(３)＝４ ： (×××),(××○),(×○×),(○××)
これらを元にして、この漸化式(変形フィボナッチ数列)の各値を順次求めると、
Ｆ( １) ： ２ Ｆ( ２) ： ３ Ｆ( ３) ： ４ Ｆ( ４) ： ６ Ｆ( ５) ： ９ Ｆ( ６) ： １３ Ｆ( ７) ： １９ Ｆ( ８) ： ２８ Ｆ( ９) ： ４１ Ｆ(１０) ： ６０ Ｆ(１１) ： ８８ Ｆ(１２) ： １２９ Ｆ(１３) ： １８９ Ｆ(１４) ： ２７７ Ｆ(１５) ： ４０６∴ 錠剤Ｑの１５日間の飲み方の数＝４０６
【答え】 ４０６通り
[ 補足 ]
一般化して、多くともｋ日で１錠とすると、
Ｆ(ｎ) ＝ Ｆ(ｎ−１) ＋ Ｆ(ｎ−ｋ)
Ｋ≧３なら、問題に似たような漸化式(変形フィボナッチ数列)となります。
Ｋ＝２ なら、Ｆ(ｎ) ＝ Ｆ(ｎ−１)＋Ｆ(ｎ−２) となり、Ｆ(１)＝２,Ｆ(２)＝３ ですから
２,３,５,８,１３,２１,３４,… のフィボナッチ数列となります。
特に Ｋ＝１ なら、Ｆ(ｎ) ＝ ２*Ｆ(ｎ−１) となり、Ｆ(１)＝２ ですから
一般項は ２n となります。
【問Ｒ】
便宜上、錠剤Ｒ１５錠は下図のように上が固定されている糸で一列に吊り下げられているものとします。
（下図では上下を左右に書き換えてますが、 ○ が錠剤Ｒ１錠を ─ が糸をそれぞれ表します）
上 ┠─○─○─○─○─○─○─○─○─○─○─○─○─○─○─○ 下飲む時は、飲む錠数だけ下からまとめて取るように糸の１ヶ所を切るものとします。
【問Ｒ１】
切ることが可能なのは糸のある１５ヶ所で、どこも切るか切らないかの２通りが選択できます。
ところが、１５錠すべてを飲むためには１５ヶ所の糸の内で１番上の糸は必ず切らねばなりません。
結局、切るか切らないか選択できるのは１４(＝１５−１)ヶ所になります。
よって、
錠剤Ｒ１５錠の飲み方の数
＝２15-1
＝２14
＝１６３８４
（一般に、錠剤Ｒのｎ錠の飲み方の数＝２n-1）
【答え】 １６３８４通り
【問Ｒ２】
１回飲むのに１ヶ所切りますから、７回で飲むには７ヶ所切ることになります。
ところが、１５錠すべてを飲むためには１５ヶ所の糸の内で１番上の糸は必ず切らねばなりません。
結局、１４(＝１５−１)ヶ所の内の何処の６(＝７−１)ヶ所を切るか選択することになります。
よって、
錠剤Ｒ１５錠を７回で飲む飲み方の数
＝15-1Ｃ7-1
＝14Ｃ6
＝３００３
（一般に、錠剤Ｒのｎ錠をｋ回で飲む飲み方の数＝n-1Ｃk-1）
【答え】 ３００３通り
[ 補足 ]
錠剤Ｒのｎ錠の 飲み方の数＝２n-1 錠剤Ｒのｎ錠を １回で飲む飲み方の数＝n-1Ｃ0 錠剤Ｒのｎ錠を ２回で飲む飲み方の数＝n-1Ｃ1 ↓ 錠剤Ｒのｎ錠を ｋ回で飲む飲み方の数＝n-1Ｃk-1 ↓ 錠剤Ｒのｎ錠を ｎ回で飲む飲み方の数＝n-1Ｃn-1∴ ２n-1＝n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋…＋n-1Ｃk-1＋…＋n-1Ｃn-1