◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
【問題１】
１，３，６，９ →(1,3)→ なし ３分 ６，９ ←(1)← １，３ １分 １，６，９ →(6,9)→ ３ ９分 １ ←(3)← ３，６，９ ３分 １，３ →(1,3)→ ６，９ ３分
の１９分
【問題２】
最短手順として、 ＜手順１＞（時間のかかる２台を同時に運ぶ） ａ，ｂ，ｃ，ｄ →(a,b)→ なし ｂ分 ｃ，ｄ ←(a)← ａ，ｂ ａ分 ａ，ｃ，ｄ →(c,d)→ ｂ ｄ分 ａ ←(b)← ｂ，ｃ，ｄ ｂ分 ａ，ｂ →(a,b)→ ｃ，ｄ ｂ分ａ＋ｃ＞２ｂ ならば＜手順１＞（ａ＋３ｂ＋ｄ）分が最短。
の（ａ＋３ｂ＋ｄ）分 ＜手順２＞（時間最短の１台を往復させる） ａ，ｂ，ｃ，ｄ →(a,b)→ なし ｂ分 ｃ，ｄ ←(a)← ａ，ｂ ａ分 ａ，ｃ，ｄ →(a,c)→ ｂ ｃ分 ｄ ←(a)← ａ，ｂ，ｃ ａ分 ａ，ｄ →(a,d)→ ｂ，ｃ ｄ分 の（２ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）分が考えられる。
ａ＋ｃ＜２ｂ ならば＜手順２＞（２ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）分が最短。
ａ＋ｃ＝２ｂ ならばどちらでもよい。
（ａ＋３ｂ＋ｄ）＝（２ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）分 が最短。
【問題３】
２，７，９，11，14，15 →(2,7)→ なし ７分 ９，11，14，15 ←(2)← ２，７ ２分 ２，９，11，14，15 →(14,15)→ ７ 15分 ２，９，11 ←(7)← ７，14，15 ７分 ２，７，９，11 →(2,7)→ 14，15 ７分 ９，11 ←(2)← ２，７，14，15 ２分 ２，９，11 →(2,9)→ ７，14，15 ９分 11 ←(2)← ２，７，９，14，15 ２分 ２，11 →(2,11)→ ７，９，14，15 11分 の６２分（考え方）
まず、［２，７，14，15］で【問題２】の結果を適用する。
２＋14＞２×７ より＜手順１＞を実行。
次に、［２，７，９，11］について【問題２】の結果を適用する。
２＋９＜２×７ より＜手順２＞を実行。
【コメント】
みごと正解です。
【問題４】は、求め方の手順を示していただければＯＫです。
ａ2m+1＋ａ1＞２ａ2となるｍの最小値をｉとして、
必要な時間をｎとｉとａ1、ａ2、・・・ａ2nの式で表してください。
◆石川県 Takashiさんからの解答。
【問題２】
今 ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄ だから、所要時間を最短にするにはなるべく速い船を往復の帰りに使うと良い。
さらになるべく遅い船が負担にならない様に、遅い船同士をいっしょに運びたい。
したがって、下の表のように運ぶのが最短時間で運び終わる方法である。
| １回目 | ２回目 | ３回目 | |
| 行き | ａとｂ | ｃとｄ | ａとｂ |
| 帰り | ａかｂ | ｂかａ |
【問題４】
前問を参考にすると、まず一番速い１番と２番で行き、どちらかをおいて帰ってくる。
次に一番遅いほうから２隻で行き、先ほどおいてきた速い船で帰ってくる。
次はまた１番と２番で行く。
これを繰り返すのが最も速い船の運び方になる。
よってそのときの所要時間 Ｔは、
１往復 １往復 １往復 １往復 １往復 片道 ┏━━━━━┓┏━━━━━┓┏━━━━━┓┏━━━━━━┓ ┏━━━━━┓┏━━ Ｔ＝ａ(2)+ａ(1)＋ａ(2n)+ａ(2)＋ａ(2)+ａ(1)＋ａ(2n-2)+ａ(2)＋・・・・ａ(2)+ａ(1)＋ａ(4) ┗━━━━━━┛ ┃ 逆でも良い 必ず(1)
＝ n
Σ
j=2｛２ａ(2)＋ａ(1)＋ａ(2j)｝−ａ(2)
＝(2ｎ−3)ａ(2)＋(ｎ−1)ａ(1)＋ n
Σ
j=2ａ(2j)
【コメント】
問題２は正解です。
問題４については、作戦が少し偏っているので、特殊な場合しかこの式は成り立ちません。
全て１番を利用する場合と、１番を除いた２隻で渡る場合を少し検討してください。
◆石川県 Takashiさんからの解答。
【４】ａ1からａ2nの船を対岸に運ぶのに必要な手数をＦ(n)【n:自然数】、
ａ1,ａ2,ａ2n-1,ａ2nの４隻を用いてａ2n-1,ａ2nの２隻を運ぶのに必要な手数をＧ(n)とする。【n>1】
Ｆ(1)＝１、Ｆ(n)＝Ｇ(n)＋Ｆ(n-1)【n>1】
| Ｆ(n)＝１＋ | n Σ j=2 | Ｇ(j) |
＜T＞２ａ2−ａ1＞ａ2m-1、２≦ｍ≦ｎ を満たす ｍ が存在するとき最大のｍをｓとする。
【2≦s≦n】
≪１≫ｓ＜ｎのとき
Ｇ(j)＝２ａ1＋ａ2j-1＋ａ2j 【2≦j≦s】
Ｇ(j)＝ａ1＋２ａ2＋ａ2j 【s< j≦n】
よって
Ｆ(s)
| ＝１＋ | s Σ j=2 | ｛２ａ1＋ａ2j-1＋ａ2j｝ |
| ＝１＋２ａ1(ｓ−１)＋ | 2s Σ j=3 | ａj |
Ｆ(n)
| ＝Ｆ(s)＋ | n Σ j=s+1 | ｛ａ1＋２ａ2＋ａ2j｝ |
| ＝１+ａ1(ｎ＋ｓ−２)＋2ａ2(ｎ−ｓ)＋ | 2s Σ j=3 | ａj | + | n Σ j=s+1 | ａ2j |
≪２≫ｓ＝ｎのとき、
| Ｆ(n)＝１＋２ａ1(ｓ−１)＋ | 2n Σ j=3 | ａj |
＜U＞２ａ2−ａ1＜ａ(3)のとき
Ｇ(j)＝ａ1＋２ａ2＋ａ2j【2≦j≦n】
Ｆ(n)
| ＝１＋ | n Σ j=2 | ｛ａ1＋２ａ2＋ａ2j｝ |
| ＝１＋｛ａ1＋２ａ2｝(ｎ−1)＋ | n Σ j=2 | ａ2j |
【コメント】
９９％正解です。
いろいろ実験したのですが、Ｆ(n)＝１＋・・・の式の１をａ2に変えると正しくなります。
なぜかを指摘してください。
このままでは例えば問題１の場合も成立しません。
◆石川県 Takashiさんからの解答。
ａ1からａ2nまでの船を運ぶのに必要な時間をＦ(n)と定義したので、当然
Ｆ(1)＝ａ2です。失礼しました。
【コメント】
ということでついに１００％の正解です。
前回の解答の１をａ2に置き換えて読んでください。
それにしても鮮やかな解答ですね。
ついに川渡り問題も陥落しました。
◆新潟県の中学校２年生 紅月繭祈 さんからの解答。
【問題１】
Ａを1分 Ｂを3分 Ｃを6分 Ｄを9分として
ＡとＢで行きＡで帰る（3+1で4分）
ＣとＤで行きＢで帰る（9+3で12分）
ＡとＢで行く （4+12+3で19分）
最短１９分
◆愛知県の中学校３年生 ユリ さんからの解答。
【問題１】
AとＢで反対側へ行き、Ａで帰ってくる。
そこで、４分かかる。
つぎに、ＣとＤで行き、Ｂで帰ってくる。
そこで、１２分かかる。
最後に、ＡとＢで反対側へ行く。
そこで、３分かかる。
合計で１９分で行くことが出来る。
頭が痛くなった・・・。
でも、おもしろい！！(^○^)