◆東京都 はにゃん さんからの解答。
【問題１】
2*4+4*6+6*8+…+(2n-2)*2n
| ＝ | 1 6 | *[(2*4*6-0*2*4)+(4*6*8-2*4*6)+(6*8*10-4*6*8)+…+((2n-2)*2n*(2n+2)-(2n-4)*(2n-2)*2n)] |
| ＝ | 1 6 | *[(2n-2)*2n*(2n+2)-0*2*4] |
| ＝ | 4(n3-n) 3 |
【問題２】
n＝-1のとき
n-n2+n3-n4+…+n2m-1-n2m＝-2m
n≠-1のとき
[n-n2+n3-n4+…+n2m-1-n2m]*(1+n)
←展開・因数分解の公式を知っているなら一気に(*)へ
＝[n-n2+n3-n4+…+n2m-1-n2m]+[n2-n3+n4-…-n2m-1+n2m-n2m+1]
＝n+(-n2+n2)+(n3-n3)+(-n4+n4)+…+(n2m-1-n2m-1)+(-n2m+n2m)-n2m+1
＝n-n2m+1 ←(*)
→ n-n2+n3-n4+…+n2m-1-n2m
| ＝ | n-n2m+1 1+n |
単に和の公式を直接使わず導出してるだけの解答になってしまった・・・
◆出題者のコメント。
どちらも正解です。
問１は僕はそれぞれの項を順列記号Ｐを使いまとめてそれを組み合わせ記号Ｃに変えてまとめていく方法を考えてましたが、こんな方法があったとは思いませんでした。
問２はどちらかといえばミス問題だったのです・・・ すいません。
僕が考えていたのは与式をｎ−ｎ2でくくって
展開公式
（ｎm−１）｛ｎxm＋ｎ(x-1)m＋ｎ(x-2)m・・・＋ｎm＋１｝
を利用して解くつもりでしたが結局
（ｎ＋１）｛ｎm−ｎm-1＋ｎm-2−ｎm-3・・・＋ｎ2−ｎ｝ ＝ｎm+1−ｎ
がわかればそのままできてしまうのです。
あまり良くない問題ですね・・・