『その数だけ離れた数』解答


◆広島県 清川 育男 さんからの解答。

1-4
 1  1  3  4  2  3  2  4 
 1  1  4  2  3  2  4  3 
 2  3  2  4  3  1  1  4 
 3  4  2  3  2  4  1  1 
 4  1  1  3  4  2  3  2 
 4  2  3  2  4  3  1  1
 
1-5
 1  1  3  4  5  3  2  4  2  5 
 1  1  5  2  4  2  3  5  4  3 
 2  3  2  5  3  4  1  1  5  4 
 2  4  2  3  5  4  3  1  1  5 
 3  4  5  3  2  4  2  5  1  1 
 3  5  2  3  2  4  5  1  1  4 
 4  1  1  5  4  2  3  2  5  3 
 4  5  1  1  4  3  5  2  3  2 
 5  1  1  3  4  5  3  2  4  2 
 5  2  4  2  3  5  4  3  1  1 

1-8
 1  1  2  5  2  6  7  8  5  3  4  6  3  7  4  8 
 1  1  2  5  2  7  8  4  5  6  3  4  7  3  8  6 
 1  1  2  6  2  5  7  8  4  6  5  3  4  7  3  8 
 1  1  2  6  2  7  4  8  5  6  4  3  7  5  3  8 
 1  1  2  6  2  7  8  3  5  6  3  4  7  5  8  4 
 1  1  2  6  2  8  4  5  7  6  4  3  5  8  3  7 
 1  1  2  7  2  4  6  8  5  4  7  3  6  5  3  8 
 1  1  2  7  2  8  3  5  6  3  7  4  5  8  6  4 
 1  1  2  8  2  3  6  7  3  4  5  8  6  4  7  5 
 1  1  2  8  2  3  7  5  3  6  4  8  5  7  4  6 
 1  1  3  4  7  3  8  4  5  6  2  7  2  5  8  6 
 1  1  3  4  8  3  7  4  6  2  5  2  8  7  6  5 
 1  1  3  5  8  3  4  7  5  6  4  2  8  2  7  6 
 1  1  3  6  7  3  4  8  5  6  4  7  2  5  2  8 
 1  1  3  7  4  3  6  8  4  5  7  2  6  2  5  8 
 1  1  3  7  4  3  8  5  4  6  7  2  5  2  8  6 
 1  1  3  7  8  3  2  6  2  5  7  4  8  6  5  4 
 1  1  3  8  5  3  4  6  7  5  4  8  2  6  2  7 
 1  1  4  5  6  8  4  7  5  2  6  2  3  8  7  3 
 1  1  4  5  7  8  4  3  5  6  3  7  2  8  2  6 
 1  1  4  6  8  3  4  7  3  6  5  2  8  2  7  5 
 1  1  4  6  8  5  4  7  3  6  5  3  8  2  7  2 
 ..............................................
 ..............................................
 ..............................................

1-9
 1  1  2  4  2  7  8  4  9  6  3  5  7  3  8  6  5  9 
 1  1  2  4  2  8  6  4  9  7  5  3  6  8  3  5  7  9 
 1  1  2  6  2  5  7  8  9  6  5  3  4  7  3  8  4  9 
 1  1  2  6  2  7  5  8  9  6  4  5  7  3  4  8  3  9 
 1  1  2  6  2  7  8  4  9  6  5  4  7  3  8  5  3  9 
 1  1  2  6  2  8  4  7  9  6  4  5  3  8  7  3  5  9 
 1  1  2  7  2  4  8  6  9  4  7  5  3  6  8  3  5  9 
 1  1  2  8  2  4  6  7  9  4  5  8  6  3  7  5  3  9 
 ....................................................
 ....................................................
 ....................................................
解が存在するための条件
N≡0 or 1 (mod 4)  でしょうか??。


◆広島県 清川 育男 さんからの解答。

1-12
  1  1  2  3  2 12  3  4 10 11  5  4  9  6  8  5  7 12 10  6 11  9  8  7
  1  1  2  3  2 12  3  4 11  9  5  4 10  8  6  5  7 12  9 11  6  8 10  7
  1  1  2  3  2 12  3  4 10 11  5  4  7  8  9  5  6 12 10  7 11  8  6  9
  1  1  2  3  2 12  3  4 11  9  5  4  8 10  7  5  6 12  9 11  8  7  6 10
  1  1  2  3  2 10  3  4 12  9 11  4  5  6  8 10  7  5  9  6 12 11  8  7
  1  1  2  3  2 10  3  4 11 12  8  4  5  9  6 10  7  5  8 11  6 12  9  7
  1  1  2  3  2 10  3  4 11  9 12  4  5  8  6 10  7  5  9 11  6  8 12  7
  1  1  2  3  2 10  3  4 11 12  8  4  5  7  9 10  6  5  8 11  7 12  6  9
  1  1  2  3  2 12  3  4 11  6 10  4  9  5  8  6  7 12  5 11 10  9  8  7
  1  1  2  3  2 10  3  4 11  8 12  4  9  5  6 10  7  8  5 11  6  9 12  7
  .......................................................................
  .......................................................................
  .......................................................................
  
1-13
  1  1  2  3  2  4  3 13 11  4 12  5  6 10  7  9  5  8  6 11 13  7 12 10  9  8
  1  1  2  3  2  4  3 12 13  4 10  5  6 11  9  7  5  8  6 12 10 13  7  9 11  8
  1  1  2  3  2  4  3 13 11  4 12  5  6  8  9 10  5  7  6 11 13  8 12  9  7 10
  1  1  2  3  2  4  3 12 13  4 10  5  6  9 11  8  5  7  6 12 10 13  9  8  7 11
  1  1  2  3  2  4  3 13 10  4 12  5 11  6  7  9  5  8 10  6 13  7 12 11  9  8
  1  1  2  3  2  4  3 11 12  4 13  5 10  6  7  9  5  8 11  6 12  7 10 13  9  8
  1  1  2  3  2  4  3 11 12  4 13  5  9  6 10  7  5  8 11  6 12  9  7 13 10  8
  1  1  2  3  2  4  3 13 10  4 11  5 12  6  9  7  5  8 10  6 13 11  7  9 12  8
  1  1  2  3  2  4  3 11 13  4 10  5 12  6  9  7  5  8 11  6 10 13  7  9 12  8
  1  1  2  3  2  4  3 11 13  4 12  5  8  6  9 10  5  7 11  6  8 13 12  9  7 10
  1  1  2  3  2  4  3 11 12  4 13  5  9  6  8 10  5  7 11  6 12  9  8 13  7 10
  ............................................................................
  ............................................................................
  ............................................................................

1-16
  1  1  2  3  2  4  3  5 15  4 16 14  5  6 13  7  8 11 12  6  9 10  7 15  8 14 16 13 11  9 12 10
  1  1  2  3  2  4  3  5 15  4 16 14  5  6 13  7  8 12 10  6 11  9  7 15  8 14 16 13 10 12  9 11
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 13 15  5  6 14  7 11  8 12  6  9 10  7 13 16  8 15 11 14  9 12 10
  1  1  2  3  2  4  3  5 15  4 16 13  5  6 14  7 11  8 12  6  9 10  7 15 13  8 16 11 14  9 12 10
  1  1  2  3  2  4  3  5 15  4 14 16  5  6 12  7 13  8 10  6 11  9  7 15 14  8 12 16 10 13  9 11
  1  1  2  3  2  4  3  5 15  4 14 16  5  6 11  7 12 13  8  6  9 10  7 15 14 11  8 16 12  9 13 10
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 15 12  5  6 14  7 11 13  8  6  9 10  7 12 16 15  8 11 14  9 13 10
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 15 12  5  6 13  7 14 11  8  6  9 10  7 12 16 15  8 13 11  9 14 10
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 15 12  5  6 14  7 13 10  8  6 11  9  7 12 16 15  8 10 14 13  9 11
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 13 14  5  6 15  7 12 10  8  6 11  9  7 13 16 14  8 10 12 15  9 11
  ..............................................................................................
  ..............................................................................................
  ..............................................................................................

1-17
  1  1  2  3  2  4  3  5 17  4 14  6  5 16 13 15  7  6  8  9 12 10 11  7 14 17  8 13  9 16 15 10 12 11
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 15  6  5 17 13 14  7  6  8  9 12 10 11  7 16 15  8 13  9 14 17 10 12 11
  1  1  2  3  2  4  3  5 17  4 14  6  5 16 13 15  7  6  8  9 11 12 10  7 14 17  8 13  9 16 15 11 10 12
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 15  6  5 17 13 14  7  6  8  9 11 12 10  7 16 15  8 13  9 14 17 11 10 12
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 17  6  5 12 14 15  7  6  8 13  9 10 11  7 16 12  8 17 14  9 15 10 13 11
  1  1  2  3  2  4  3  5 17  4 14  6  5 15 16 12  7  6  8 13  9 10 11  7 14 17  8 12 15  9 16 10 13 11
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 15  6  5 17 14 12  7  6  8 13  9 10 11  7 16 15  8 12 14  9 17 10 13 11
  1  1  2  3  2  4  3  5 17  4 14  6  5 15 13 16  7  6  8 11  9 12 10  7 14 17  8 13 15  9 11 16 10 12
  1  1  2  3  2  4  3  5 16  4 15  6  5 14 17 13  7  6  8 11  9 12 10  7 16 15  8 14 13  9 11 17 10 12
  1  1  2  3  2  4  3  5 17  4 14  6  5 15 13 16  7  6  8 10 12  9 11  7 14 17  8 13 15 10  9 16 12 11
  ..................................................................................................

  ..................................................................................................

  ..................................................................................................

1-20
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 18 16 17 10  8  7  9 14 15 11 12 13  8 10 19  9 20 16 18 17 11 14 12 15 13
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 17 18 16 10  8  7  9 14 15 11 12 13  8 10 19  9 20 17 16 18 11 14 12 15 13
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 18 16 17 10  8  7  9 15 13 11 14 12  8 10 19  9 20 16 18 17 11 13 15 12 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 17 18 16 10  8  7  9 15 13 11 14 12  8 10 19  9 20 17 16 18 11 13 15 12 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 18 16 17 10  8  7  9 15 12 14 11 13  8 10 19  9 20 16 18 17 12 11 15 14 13
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 17 18 16 10  8  7  9 15 12 14 11 13  8 10 19  9 20 17 16 18 12 11 15 14 13
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  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 17 18 16 10  8  7  9 13 14 15 11 12  8 10 19  9 20 17 16 18 13 11 14 12 15
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 18 16 17 10  8  7  9 14 12 15 13 11  8 10 19  9 20 16 18 17 12 14 11 13 15
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 17 18 16 10  8  7  9 14 12 15 13 11  8 10 19  9 20 17 16 18 12 14 11 13 15
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 20  5  7  6 18 16 17 10  8  7  9 13 15 12 14 11  8 10 19  9 20 16 18 17 13 12 11 15 14
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  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 17  5  7  6 20 15 16 18  8  7  9 10 11 14 12 13  8 17 19  9 15 10 16 11 20 18 12 14 13
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 17  5  7  6 16 20 18 15  8  7  9 10 11 14 12 13  8 17 19  9 16 10 15 11 18 20 12 14 13
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 17  5  7  6 20 15 16 18  8  7  9 10 11 13 14 12  8 17 19  9 15 10 16 11 20 18 13 12 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 17  5  7  6 16 20 18 15  8  7  9 10 11 13 14 12  8 17 19  9 16 10 15 11 18 20 13 12 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 18 20  5  7  6 14 17 19 16  8  7  9 10 15 11 12 13  8 18 14  9 20 10 17 16 11 19 12 15 13
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 17  5  7  6 18 20 14 16  8  7  9 10 15 11 12 13  8 17 19  9 14 10 18 16 11 20 12 15 13
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 17  5  7  6 18 15 20 16  8  7  9 10 13 11 14 12  8 17 19  9 15 10 18 16 11 13 20 12 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4 19 17  5  7  6 16 18 20 15  8  7  9 10 13 11 14 12  8 17 19  9 16 10 15 18 11 13 20 12 14

1-21
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 20  5 21  6 17 19  7 18 10  8  9 11 15 16 12 13 14  8 10  9 20 17 11 21 19 18 12 15 13 16 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 21  5 18  6 19 20  7 17 10  8  9 11 15 16 12 13 14  8 10  9 18 21 11 19 17 20 12 15 13 16 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 20  5 19  6 21 18  7 17 10  8  9 11 15 16 12 13 14  8 10  9 20 19 11 18 17 21 12 15 13 16 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 20  5 21  6 17 19  7 18 10  8  9 11 16 14 12 15 13  8 10  9 20 17 11 21 19 18 12 14 16 13 15
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 21  5 18  6 19 20  7 17 10  8  9 11 16 14 12 15 13  8 10  9 18 21 11 19 17 20 12 14 16 13 15
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 20  5 19  6 21 18  7 17 10  8  9 11 16 14 12 15 13  8 10  9 20 19 11 18 17 21 12 14 16 13 15
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 20  5 21  6 17 19  7 18 10  8  9 11 16 13 15 12 14  8 10  9 20 17 11 21 19 18 13 12 16 15 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 21  5 18  6 19 20  7 17 10  8  9 11 16 13 15 12 14  8 10  9 18 21 11 19 17 20 13 12 16 15 14
  1  1  2  3  2  4  3  5  6  4  7 20  5 19  6 21 18  7 17 10  8  9 11 16 13 15 12 14  8 10  9 20 19 11 18 17 21 13 12 16 15 14


◆東京都 建築家 さんからの解答。

まずN色の玉を2つづつ用意します。
全部で2N個の玉を一列に並べて、
その並び方をX(X={赤、青、赤、黄、緑・・・})と呼ぶことにします。

この時にそれぞれの玉に、同じ色同士の距離(つまり間にある玉の数+1)にあたる数字をつけていきます。
その数字を全部足したものを │X│ と書きましょう。

そこでまず同じ色の玉を2つづつ隣に並べてそれを最初の状態にします。

X={赤赤青青白白・・・・}
例えばこれは番号をつけてくと{1、1、1、1・・・・}
となって│X│=2Nとなります。

これから隣あった二つの玉を入れ替えて行きますとすべてのパターンの玉の並び方にできます。

しかし玉を一回交代する毎には│X│は4増えるか減るかまたは変わりません。
ためしに上のXの隣あった赤と青の玉をいれかえると、数字は
{2(赤)、2(青)、2(赤)、2(青)、1、1・・・}となって
│X│は4増えました。

つまり│X│のとりうる値は2Nより小さくなることはないですので
│X│=2N+4n (nは自然数)  
(2N≦│X│≦2N2の間になります。)

ところが1からNまでの数がちょうど2個ずつでてくるためには
│X│=N(N+1)でなければなりません。

よって
N(N+1)=2N+4nとなるようなnが存在するためには
N(N−1)が4で割り切れるような数でなければなりません。

N≡0 or 1 (mod 4) の時以外はそのように玉をならべることができませんので
「1からNまでの数2個ずつを以下のルールを満たすように、一直線上にすきまなく並べることは 」無理ということになります。


◆東京都 建築家 さんからの解答。

前のやり方ではうまくN≡0、1(mod 4) の時の並べ方の存在が証明できませんでしたので、具体的に探すことにしました。

前の証明に続いて今度は一色のみの玉を一つ加えます。
これに0という番号をつけます。

まず玉を左右対称におきますと
 X1={赤、青、黄・・・緑、白、白、緑・・・黄、青、赤}

数字をつけていくと
 X1={・・・9,7,5,3,1,1,3,5,7,9・・・}

そこで黒の玉に0という番号をつけて、真ん中に置きますと
 X2={赤、青、黄・・・緑、白、黒、白、緑・・・黄、青、赤}

数字をつけていくと
 X2={・・・8,6,4,2,0,2,4,6,8・・・}

この時にX1とX2を横に並べますと
X={X1,X2}
(いかなるNに対しても)丁度1からNまでの数字が2個づつ0が一個でてくるというなかなかよい性質があります。

これをもとに題意を満たすようなXを求めることにしました。

X2の黒の玉を取り除いてそこにX1のうちの一番大きな数の玉を入れてうまい具合にX1をずらすと1からNまでの数字が2個づつでてくるような並べ方Xができるようです。

N≡0(mod 4)の場合は
X={(4n)(4n-2)・・・(4)(2) (4n-1) (2)(4)・・・(4n-2)(4n)
下に続いて
(2n-1) (4n-3)(4n-5)・・・(2n+3)(2n+1) (2n-3)(2n-5)・・・(5)(3) (4n-1)(2n-1) (3)(5)・・・(2n-5)(2n-3) (1)(1)
更に下に続いて
(2n+1)(2n+3)・・・(4n-5)(4n-3)}

たとえばn=7の時 N=28となって上のように並べてみると

X={28,26,24,,,,,6,4,2,27,2,4,6,,,,,,24,26,28,13,25,23,21,19,17,15,11,9,7,5,3,27,13,3,5,7,9,11,1,1,15,17,19,21,23,25}

となります。

またN≡1(mod 4)の場合は

X={(4n)(4n-2)・・・(4)(2) (4n+1) (2)(4)・・・(4n-2)(4n)
下に続いて
(4n-1)(4n-3)・・・(2n+3)(2n+1) (1)(1) (2n-3)(2n-1)・・・(5)(3) (4n+1)(2n-1) (3)(5)・・・(2n-1)(2n-3)
更に下に続いて
(2n+1)(2n+3)・・・(4n-3)(4n-1) (2n-1)}

同様にn=7の時 N=29となって

X={28,26,24,,,,,6,4,2,29,2,4,6,,,,,,24,26,28,27,25,23,21,19,17,15,1,1,11,9,7,5,3,29,13,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25,27,13}

の様にして存在が求められました。


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