◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
1-4 1 1 3 4 2 3 2 4 1 1 4 2 3 2 4 3 2 3 2 4 3 1 1 4 3 4 2 3 2 4 1 1 4 1 1 3 4 2 3 2 4 2 3 2 4 3 1 1 1-5 1 1 3 4 5 3 2 4 2 5 1 1 5 2 4 2 3 5 4 3 2 3 2 5 3 4 1 1 5 4 2 4 2 3 5 4 3 1 1 5 3 4 5 3 2 4 2 5 1 1 3 5 2 3 2 4 5 1 1 4 4 1 1 5 4 2 3 2 5 3 4 5 1 1 4 3 5 2 3 2 5 1 1 3 4 5 3 2 4 2 5 2 4 2 3 5 4 3 1 1 1-8 1 1 2 5 2 6 7 8 5 3 4 6 3 7 4 8 1 1 2 5 2 7 8 4 5 6 3 4 7 3 8 6 1 1 2 6 2 5 7 8 4 6 5 3 4 7 3 8 1 1 2 6 2 7 4 8 5 6 4 3 7 5 3 8 1 1 2 6 2 7 8 3 5 6 3 4 7 5 8 4 1 1 2 6 2 8 4 5 7 6 4 3 5 8 3 7 1 1 2 7 2 4 6 8 5 4 7 3 6 5 3 8 1 1 2 7 2 8 3 5 6 3 7 4 5 8 6 4 1 1 2 8 2 3 6 7 3 4 5 8 6 4 7 5 1 1 2 8 2 3 7 5 3 6 4 8 5 7 4 6 1 1 3 4 7 3 8 4 5 6 2 7 2 5 8 6 1 1 3 4 8 3 7 4 6 2 5 2 8 7 6 5 1 1 3 5 8 3 4 7 5 6 4 2 8 2 7 6 1 1 3 6 7 3 4 8 5 6 4 7 2 5 2 8 1 1 3 7 4 3 6 8 4 5 7 2 6 2 5 8 1 1 3 7 4 3 8 5 4 6 7 2 5 2 8 6 1 1 3 7 8 3 2 6 2 5 7 4 8 6 5 4 1 1 3 8 5 3 4 6 7 5 4 8 2 6 2 7 1 1 4 5 6 8 4 7 5 2 6 2 3 8 7 3 1 1 4 5 7 8 4 3 5 6 3 7 2 8 2 6 1 1 4 6 8 3 4 7 3 6 5 2 8 2 7 5 1 1 4 6 8 5 4 7 3 6 5 3 8 2 7 2 .............................................. .............................................. .............................................. 1-9 1 1 2 4 2 7 8 4 9 6 3 5 7 3 8 6 5 9 1 1 2 4 2 8 6 4 9 7 5 3 6 8 3 5 7 9 1 1 2 6 2 5 7 8 9 6 5 3 4 7 3 8 4 9 1 1 2 6 2 7 5 8 9 6 4 5 7 3 4 8 3 9 1 1 2 6 2 7 8 4 9 6 5 4 7 3 8 5 3 9 1 1 2 6 2 8 4 7 9 6 4 5 3 8 7 3 5 9 1 1 2 7 2 4 8 6 9 4 7 5 3 6 8 3 5 9 1 1 2 8 2 4 6 7 9 4 5 8 6 3 7 5 3 9 .................................................... .................................................... ....................................................解が存在するための条件
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
1-12 1 1 2 3 2 12 3 4 10 11 5 4 9 6 8 5 7 12 10 6 11 9 8 7 1 1 2 3 2 12 3 4 11 9 5 4 10 8 6 5 7 12 9 11 6 8 10 7 1 1 2 3 2 12 3 4 10 11 5 4 7 8 9 5 6 12 10 7 11 8 6 9 1 1 2 3 2 12 3 4 11 9 5 4 8 10 7 5 6 12 9 11 8 7 6 10 1 1 2 3 2 10 3 4 12 9 11 4 5 6 8 10 7 5 9 6 12 11 8 7 1 1 2 3 2 10 3 4 11 12 8 4 5 9 6 10 7 5 8 11 6 12 9 7 1 1 2 3 2 10 3 4 11 9 12 4 5 8 6 10 7 5 9 11 6 8 12 7 1 1 2 3 2 10 3 4 11 12 8 4 5 7 9 10 6 5 8 11 7 12 6 9 1 1 2 3 2 12 3 4 11 6 10 4 9 5 8 6 7 12 5 11 10 9 8 7 1 1 2 3 2 10 3 4 11 8 12 4 9 5 6 10 7 8 5 11 6 9 12 7 ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 1-13 1 1 2 3 2 4 3 13 11 4 12 5 6 10 7 9 5 8 6 11 13 7 12 10 9 8 1 1 2 3 2 4 3 12 13 4 10 5 6 11 9 7 5 8 6 12 10 13 7 9 11 8 1 1 2 3 2 4 3 13 11 4 12 5 6 8 9 10 5 7 6 11 13 8 12 9 7 10 1 1 2 3 2 4 3 12 13 4 10 5 6 9 11 8 5 7 6 12 10 13 9 8 7 11 1 1 2 3 2 4 3 13 10 4 12 5 11 6 7 9 5 8 10 6 13 7 12 11 9 8 1 1 2 3 2 4 3 11 12 4 13 5 10 6 7 9 5 8 11 6 12 7 10 13 9 8 1 1 2 3 2 4 3 11 12 4 13 5 9 6 10 7 5 8 11 6 12 9 7 13 10 8 1 1 2 3 2 4 3 13 10 4 11 5 12 6 9 7 5 8 10 6 13 11 7 9 12 8 1 1 2 3 2 4 3 11 13 4 10 5 12 6 9 7 5 8 11 6 10 13 7 9 12 8 1 1 2 3 2 4 3 11 13 4 12 5 8 6 9 10 5 7 11 6 8 13 12 9 7 10 1 1 2 3 2 4 3 11 12 4 13 5 9 6 8 10 5 7 11 6 12 9 8 13 7 10 ............................................................................ ............................................................................ ............................................................................ 1-16 1 1 2 3 2 4 3 5 15 4 16 14 5 6 13 7 8 11 12 6 9 10 7 15 8 14 16 13 11 9 12 10 1 1 2 3 2 4 3 5 15 4 16 14 5 6 13 7 8 12 10 6 11 9 7 15 8 14 16 13 10 12 9 11 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 13 15 5 6 14 7 11 8 12 6 9 10 7 13 16 8 15 11 14 9 12 10 1 1 2 3 2 4 3 5 15 4 16 13 5 6 14 7 11 8 12 6 9 10 7 15 13 8 16 11 14 9 12 10 1 1 2 3 2 4 3 5 15 4 14 16 5 6 12 7 13 8 10 6 11 9 7 15 14 8 12 16 10 13 9 11 1 1 2 3 2 4 3 5 15 4 14 16 5 6 11 7 12 13 8 6 9 10 7 15 14 11 8 16 12 9 13 10 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 15 12 5 6 14 7 11 13 8 6 9 10 7 12 16 15 8 11 14 9 13 10 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 15 12 5 6 13 7 14 11 8 6 9 10 7 12 16 15 8 13 11 9 14 10 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 15 12 5 6 14 7 13 10 8 6 11 9 7 12 16 15 8 10 14 13 9 11 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 13 14 5 6 15 7 12 10 8 6 11 9 7 13 16 14 8 10 12 15 9 11 .............................................................................................. .............................................................................................. .............................................................................................. 1-17 1 1 2 3 2 4 3 5 17 4 14 6 5 16 13 15 7 6 8 9 12 10 11 7 14 17 8 13 9 16 15 10 12 11 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 15 6 5 17 13 14 7 6 8 9 12 10 11 7 16 15 8 13 9 14 17 10 12 11 1 1 2 3 2 4 3 5 17 4 14 6 5 16 13 15 7 6 8 9 11 12 10 7 14 17 8 13 9 16 15 11 10 12 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 15 6 5 17 13 14 7 6 8 9 11 12 10 7 16 15 8 13 9 14 17 11 10 12 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 17 6 5 12 14 15 7 6 8 13 9 10 11 7 16 12 8 17 14 9 15 10 13 11 1 1 2 3 2 4 3 5 17 4 14 6 5 15 16 12 7 6 8 13 9 10 11 7 14 17 8 12 15 9 16 10 13 11 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 15 6 5 17 14 12 7 6 8 13 9 10 11 7 16 15 8 12 14 9 17 10 13 11 1 1 2 3 2 4 3 5 17 4 14 6 5 15 13 16 7 6 8 11 9 12 10 7 14 17 8 13 15 9 11 16 10 12 1 1 2 3 2 4 3 5 16 4 15 6 5 14 17 13 7 6 8 11 9 12 10 7 16 15 8 14 13 9 11 17 10 12 1 1 2 3 2 4 3 5 17 4 14 6 5 15 13 16 7 6 8 10 12 9 11 7 14 17 8 13 15 10 9 16 12 11 .................................................................................................. .................................................................................................. .................................................................................................. 1-20 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 18 16 17 10 8 7 9 14 15 11 12 13 8 10 19 9 20 16 18 17 11 14 12 15 13 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 17 18 16 10 8 7 9 14 15 11 12 13 8 10 19 9 20 17 16 18 11 14 12 15 13 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 18 16 17 10 8 7 9 15 13 11 14 12 8 10 19 9 20 16 18 17 11 13 15 12 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 17 18 16 10 8 7 9 15 13 11 14 12 8 10 19 9 20 17 16 18 11 13 15 12 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 18 16 17 10 8 7 9 15 12 14 11 13 8 10 19 9 20 16 18 17 12 11 15 14 13 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 17 18 16 10 8 7 9 15 12 14 11 13 8 10 19 9 20 17 16 18 12 11 15 14 13 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 18 16 17 10 8 7 9 13 14 15 11 12 8 10 19 9 20 16 18 17 13 11 14 12 15 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 17 18 16 10 8 7 9 13 14 15 11 12 8 10 19 9 20 17 16 18 13 11 14 12 15 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 18 16 17 10 8 7 9 14 12 15 13 11 8 10 19 9 20 16 18 17 12 14 11 13 15 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 17 18 16 10 8 7 9 14 12 15 13 11 8 10 19 9 20 17 16 18 12 14 11 13 15 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 18 16 17 10 8 7 9 13 15 12 14 11 8 10 19 9 20 16 18 17 13 12 11 15 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 20 5 7 6 17 18 16 10 8 7 9 13 15 12 14 11 8 10 19 9 20 17 16 18 13 12 11 15 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 17 5 7 6 20 15 16 18 8 7 9 10 11 14 12 13 8 17 19 9 15 10 16 11 20 18 12 14 13 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 17 5 7 6 16 20 18 15 8 7 9 10 11 14 12 13 8 17 19 9 16 10 15 11 18 20 12 14 13 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 17 5 7 6 20 15 16 18 8 7 9 10 11 13 14 12 8 17 19 9 15 10 16 11 20 18 13 12 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 17 5 7 6 16 20 18 15 8 7 9 10 11 13 14 12 8 17 19 9 16 10 15 11 18 20 13 12 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 18 20 5 7 6 14 17 19 16 8 7 9 10 15 11 12 13 8 18 14 9 20 10 17 16 11 19 12 15 13 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 17 5 7 6 18 20 14 16 8 7 9 10 15 11 12 13 8 17 19 9 14 10 18 16 11 20 12 15 13 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 17 5 7 6 18 15 20 16 8 7 9 10 13 11 14 12 8 17 19 9 15 10 18 16 11 13 20 12 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 19 17 5 7 6 16 18 20 15 8 7 9 10 13 11 14 12 8 17 19 9 16 10 15 18 11 13 20 12 14 1-21 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 20 5 21 6 17 19 7 18 10 8 9 11 15 16 12 13 14 8 10 9 20 17 11 21 19 18 12 15 13 16 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 21 5 18 6 19 20 7 17 10 8 9 11 15 16 12 13 14 8 10 9 18 21 11 19 17 20 12 15 13 16 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 20 5 19 6 21 18 7 17 10 8 9 11 15 16 12 13 14 8 10 9 20 19 11 18 17 21 12 15 13 16 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 20 5 21 6 17 19 7 18 10 8 9 11 16 14 12 15 13 8 10 9 20 17 11 21 19 18 12 14 16 13 15 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 21 5 18 6 19 20 7 17 10 8 9 11 16 14 12 15 13 8 10 9 18 21 11 19 17 20 12 14 16 13 15 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 20 5 19 6 21 18 7 17 10 8 9 11 16 14 12 15 13 8 10 9 20 19 11 18 17 21 12 14 16 13 15 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 20 5 21 6 17 19 7 18 10 8 9 11 16 13 15 12 14 8 10 9 20 17 11 21 19 18 13 12 16 15 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 21 5 18 6 19 20 7 17 10 8 9 11 16 13 15 12 14 8 10 9 18 21 11 19 17 20 13 12 16 15 14 1 1 2 3 2 4 3 5 6 4 7 20 5 19 6 21 18 7 17 10 8 9 11 16 13 15 12 14 8 10 9 20 19 11 18 17 21 13 12 16 15 14
◆東京都 建築家 さんからの解答。
まずN色の玉を2つづつ用意します。
全部で2N個の玉を一列に並べて、
その並び方をX(X={赤、青、赤、黄、緑・・・})と呼ぶことにします。
この時にそれぞれの玉に、同じ色同士の距離(つまり間にある玉の数+1)にあたる数字をつけていきます。
その数字を全部足したものを │X│ と書きましょう。
そこでまず同じ色の玉を2つづつ隣に並べてそれを最初の状態にします。
X={赤赤青青白白・・・・}
例えばこれは番号をつけてくと{1、1、1、1・・・・}
となって│X│=2Nとなります。
これから隣あった二つの玉を入れ替えて行きますとすべてのパターンの玉の並び方にできます。
しかし玉を一回交代する毎には│X│は4増えるか減るかまたは変わりません。
ためしに上のXの隣あった赤と青の玉をいれかえると、数字は
{2(赤)、2(青)、2(赤)、2(青)、1、1・・・}となって
│X│は4増えました。
つまり│X│のとりうる値は2Nより小さくなることはないですので
│X│=2N+4n (nは自然数)
(2N≦│X│≦2N2の間になります。)
ところが1からNまでの数がちょうど2個ずつでてくるためには
│X│=N(N+1)でなければなりません。
よって
N(N+1)=2N+4nとなるようなnが存在するためには
N(N−1)が4で割り切れるような数でなければなりません。
N≡0 or 1 (mod 4) の時以外はそのように玉をならべることができませんので
「1からNまでの数2個ずつを以下のルールを満たすように、一直線上にすきまなく並べることは 」無理ということになります。
◆東京都 建築家 さんからの解答。
前のやり方ではうまくN≡0、1(mod 4) の時の並べ方の存在が証明できませんでしたので、具体的に探すことにしました。
前の証明に続いて今度は一色のみの玉を一つ加えます。
これに0という番号をつけます。
まず玉を左右対称におきますと
X1={赤、青、黄・・・緑、白、白、緑・・・黄、青、赤}
数字をつけていくと
X1={・・・9,7,5,3,1,1,3,5,7,9・・・}
そこで黒の玉に0という番号をつけて、真ん中に置きますと
X2={赤、青、黄・・・緑、白、黒、白、緑・・・黄、青、赤}
数字をつけていくと
X2={・・・8,6,4,2,0,2,4,6,8・・・}
この時にX1とX2を横に並べますと
X={X1,X2}
(いかなるNに対しても)丁度1からNまでの数字が2個づつ0が一個でてくるというなかなかよい性質があります。
これをもとに題意を満たすようなXを求めることにしました。
X2の黒の玉を取り除いてそこにX1のうちの一番大きな数の玉を入れてうまい具合にX1をずらすと1からNまでの数字が2個づつでてくるような並べ方Xができるようです。
N≡0(mod 4)の場合は
X={(4n)(4n-2)・・・(4)(2) (4n-1) (2)(4)・・・(4n-2)(4n)
下に続いて
(2n-1) (4n-3)(4n-5)・・・(2n+3)(2n+1) (2n-3)(2n-5)・・・(5)(3) (4n-1)(2n-1) (3)(5)・・・(2n-5)(2n-3) (1)(1)
更に下に続いて
(2n+1)(2n+3)・・・(4n-5)(4n-3)}
たとえばn=7の時 N=28となって上のように並べてみると
X={28,26,24,,,,,6,4,2,27,2,4,6,,,,,,24,26,28,13,25,23,21,19,17,15,11,9,7,5,3,27,13,3,5,7,9,11,1,1,15,17,19,21,23,25}
となります。
またN≡1(mod 4)の場合は
X={(4n)(4n-2)・・・(4)(2) (4n+1) (2)(4)・・・(4n-2)(4n)
下に続いて
(4n-1)(4n-3)・・・(2n+3)(2n+1) (1)(1) (2n-3)(2n-1)・・・(5)(3) (4n+1)(2n-1) (3)(5)・・・(2n-1)(2n-3)
更に下に続いて
(2n+1)(2n+3)・・・(4n-3)(4n-1) (2n-1)}
同様にn=7の時 N=29となって
X={28,26,24,,,,,6,4,2,29,2,4,6,,,,,,24,26,28,27,25,23,21,19,17,15,1,1,11,9,7,5,3,29,13,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25,27,13}
の様にして存在が求められました。