◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【解答】 約 1.0892040564326
オクターブをn=12で表す場合をベースに具体的に考える。
[a12]=2（：素数）となるのは
| log(2) 12 | ≦log(a)＜ | log(3) 12 | である。 |
この範囲において、単に図の混雑回避のため３を飛ばして、
[aｎ]=5となるものを探すと
| log(5) 20 | ≦log(a)＜ | log(6) 20 | がある。 |
以下同様に（気分で間引きながら）探して行くと、
７，２３，１９９，１０１３，２３８１がｎ＝２０，２４，３７，６２，８１，９１において順次出てくるaの有限な区間が存在することが判る。
（下図参照、区間＝傾きの範囲）
この区間は上下有界で、区間の巾は単調に上下から狭まって行くので
| （巾＝ | 1 an | ）、 |
以下、実際に区間内に無限に素数が存在することを示す。
まず、素数そのものが無限に存在することは周知の事実である。
（フェルマー数を用いた方法など）
いまn=n1までの探索においてaの範囲が
21/12＜a1〜a1+ε1＜31/12であるとする。
区間 [a1n-1,(a1+ε1)n-1] と [a1n,(a1+ε1)n] とは
(a1+ε1)n-1≧a1nであればオーバーラップする。
即ち、(1-1/n)≧log(a1)/log(a1+ε1)。
つまりおよそn＞a1/ε1であれば、
ｎに対する各区間は、ａ1nが大きいので、１以上オーバーラップしている。
一方、a1n以上には、素数の個数の無限性から必ず素数が存在している。
即ち、適当なn2＞a1/ε1があって、
区間[a1n2,(a1+ε1)n2]⊃区間[p,p+1]
ここでpは素数である。
これを p=a2n2 , (p+1)=(a2＋ε2)n2 と置くことにより、数学的帰納法が適用される。
なお、解答値は正確には
（57767360281）1/290 と （57767360282）1/290の間の数として得た値である。
次のｎ2値は1675256734156以上であって、
an2は６．２×1011桁の数であり実計算は無理である。
【Ｐ．Ｓ．】
もっとバチッとした解答（値）があるでしょうか。